이 가족이 $0$
허락하다 $E$ 표준 벡터 공간이어야합니다. $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ 컴팩트 $K\subseteq E$ 과 $\sigma_c(E',E)$ 에 대한 초기 토폴로지를 나타냅니다. $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, 즉 하위 공간 토폴로지 $E'$ 콤팩트 컨버전스의 토폴로지에서 물려받은 $C(K)$.
허락하다 $\mathcal C\subseteq C(E')$ 균일하다 $\sigma_c(E',E)$-등 연속.
왜 우리는 $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
대부분의 경우 원하는 주장은 얻기가 쉽지만 다소 복잡한 설정으로 인해 어떻게 볼 수는 없습니다.
$(1)$ 분명히 어떤 종류의 등 연속성 $0$. 관련성이 있는지는 잘 모르겠지만 Banach-Alaoglu 정리에 따르면$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ 이다 $\sigma_c(E',E)$-모두를위한 컴팩트 $\delta>0$.
답변
균일 한 등 연속성의 정의를 상기 하십시오.$\mathcal{C}$ 지도 세트로 $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
모든 이웃을 위해 $V \subseteq \Bbb{R}$ 의 $O$ 이웃이있다 $U$ 의 $0$ 에 $(E',\sigma_c(E',E))$ 그런 $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
이제 $\psi = 0$ 과 $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, 우리는 이웃을 얻습니다 $U$ 의 $0$ 그런 $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ 이웃이되는 $0$ 반지름 원점 주위에 유한 한 많은 열린 공의 교차점 포함 $\delta_1, \ldots, \delta_k$ 콤팩트 세트의 준 규범과 관련하여 $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ 세트 $K_k$ 일부에 의해 규범에 묶여있다 $M_k > 0$ 그래서 우리가 설정하면 $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ 그런 다음 $\varphi \in E'$ 우리는 $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ 모든 $k=1, \ldots, n$ 그래서 $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
내가 착각하지 않았다면 이것은 좀 더 일반적인 결과의 예입니다. Let
- $(X,\tau)$ 위상 공간이어야합니다.
- $Y$ 규범이되다 $\mathbb R$-벡터 공간;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ ...에 대한 $\tau$-콤팩트 $K\subseteq X$ 과 $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ 메트릭 공간이어야합니다.
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ 국부 볼록 토폴로지에 대해 연속적이어야합니다. $C(X,\tau;Y)$ 에 의해 생성 된 $P$ 및 메트릭 $d$ 의 위에 $Z$.
그럼 우리는 쉽게 $f$ 규범에 대해 연속적이다 $\overline p$ 의 위에 $C(X,\tau;Y)$ 에 의해 생성 된 $P$ 및 메트릭 $d$ 의 위에 $Z$: 허락하다 $f\in C(X,\tau;Y)$ 과 $\varepsilon>0$. 연속성 가정에 의해$F$, 이있다 $P$-이웃 $N$ 의 $f$ 와 $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ 허락하다 $U_p$ 열린 단위 공을 표시 $$C(X,\tau;Y)$$ 에 관하여 $p\in P$. 우리는 쓸 수있다$N=f+N_0$ 일부 $P$-이웃 $N_0$ 의 $0$. 또한$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-콤팩트 $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ 과 $\delta_0>0$ 와 $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ 이제 $\delta\in(0,1)$ 와 $\delta\le\delta_0$. 그때,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ 따라서 $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ 즉 $f$ 연속적이다 $f$ 국부적으로 볼록한 토폴로지와 관련하여 $C(X,\tau;Y)$ 에 의해 생성 된 $P$ 및 메트릭 $d$ 의 위에 $Z$.
또는 결과에 의해 생성 된 토폴로지가 즉시 표시됩니다. $P$ 에 의해 생성 된 토폴로지보다 거칠다. $\overline p$, 여기 에서 설명합니다 .
자, 만약 $X$ 규범이다 $\mathbb R$-벡터 공간 및 $\tau$ 생성 된 토폴로지 $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, 다음 $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ 따라서 생성 된 토폴로지 $\left\|\;\cdot\;\right\|$ 균일 한 연산자 토폴로지 (즉, $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). 그래서 우리는 즉시$F$ 생성 된 토폴로지와 관련하여 연속적입니다. $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ 및 메트릭 $d$ 의 위에 $Z$ 게다가.