작은 o의 역도 함수

Question

이 질문은 이미 요청되었지만 내가 찾은 답변 중 어느 것도 정확하고 철저하지 않았습니다.

에 대한 $x$ 0에 가깝고 $n>1$, 역도 함수 $o(x^n)$ 동일 $o( x^{n+1} )$ 그리고 그것을 어떻게 증명합니까?

작은 $o$ 다음과 같이 정의됩니다.

$f$ 이다 $o( g )$ 함수가있는 경우에만 0에 가깝습니다. $u$ 그것은 때 0으로 경향이 $x$ 0에 가까워지고 만족합니다 $f = u g,$ 또는 모든 $\epsilon >0$, 일부가 있습니다 $a>0$ 그런 $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ 할때는 언제나 $0< |x| <a$

두 가지 정의를 모두 사용했지만 아무데도 얻을 수 없었습니다. 부분 별 통합도 도움이되지 않았습니다. 다음과 같은 미분에 대해서는 사실이 아님을 알고 있습니다. $o(x^n)$ 동일 $o( x^{n-1} )$ 하지만 통합에 대해서는 잘 모르겠습니다.

Answer 1

예, 이것에는 문제가 없습니다. 핵심은 통합이 불평등을 보존한다는 것입니다 (분화에 대해 매우 거짓입니다). 즉,$f(x) \le g(x)$ 그때 $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

보다 공식적으로 $f(x) = o(|x|^n)$, 정의에 따라 우리는 $\epsilon > 0$ 존재 $\delta > 0$ 그런 경우 $0 < |x| < \delta$ 그때 $|f(x)| < \epsilon |x^n|$. 밝히다

$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$

그런 다음 $\epsilon > 0$ 존재 $\delta > 0$ 그런 경우 $0 < |x| < \delta$ 그때 $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, 따라서

$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$

그래서 $F(x) = o(|x|^{n+1})$. 실제로 삽입 할 필요가 없었습니다.$n+1$ 프리 팩터가 필요하지만 최종 바운드를 정확히 필요한 것으로 만드는 것이 좋습니다.