지수의 OPE

Question

홀로 모픽 필드가 주어지면 $H(z)$ OPE 사용 : $$H(z)H(0)\sim -\ln z$$ 지수 연산자의 OPE를 계산하는 가장 현명한 방법은 무엇입니까? $e^{\pm iH(z)}$, 다음과 같이 주어진? $$e^{iH(z)}e^{-iH(0)} \sim \frac{1}{z},$$ $$e^{iH(z)}e^{iH(0)} \sim 0,$$ $$e^{-iH(z)}e^{-iH(0)} \sim 0.$$ 확장해야할까요 $\exp$그리고 기간별로합니까? 아니면 더 현명한 방법이 있습니까?

Answer 1

힌트 :

1. 암시 적으로 작성된 방사형 순서가 있습니다. ${\cal R}$ 그리고 정상적인 주문 $::$ OP 방정식의 여러 위치에서.

2. 시작점은 2 점 관계 $$\begin{align}{\cal R}(A(z)B(w)) ~-~:A(z)B(w): ~=~& C(z,w)~{\bf 1}, \cr C(z,w)~\equiv~&\langle \Omega | {\cal R}(A(z)B(w))|\Omega\rangle,\end{align} \tag{1} $$cf. 이 Phys.SE 게시물.

3. 관련 Wick 정리 는 중첩 된 Wick 정리입니다.$$ \begin{align} {\cal R}(:e^{A(z)}::e^{B(w)}:)~=~&\exp\left( C(z,w)\frac{\partial}{\partial A(z)}\frac{\partial}{\partial B(w)}\right): e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&\ldots~=~e^{C(z,w)}: e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&e^{C(z,w)}\left(: e^{A(w)+B(w)}:~+~{\cal O}(z\!-\!w)\right) ,\end{align} \tag{2}$$cf. 내 Phys.SE 대답은 여기에 있습니다 .