라그랑지안의 기원
Lagrangian의 형태를 설명 할 수 있습니까? $L=T-V$ 다음과 같은 방식으로 행동 원리?
질량 입자에 작용하는 힘은 잠재력 때문입니다. $V(x)$. 이 힘은 입자를 구동하여 위치 에너지를 최소화합니다. 우리는 또한 매력이 잠재적 에너지의 부정적인 형태라는 것을 알고 있습니다. 반면에 관성 법칙은 질량 입자가 가속을 방해하여 운동 에너지를 최소화하는 경향이 있지만 힘을 통해 위치 에너지를 증가시키는 경향이 있음을 의미합니다. 지점에서 움직이는 과정 중$x_1$ 지적하다 $x_2$ 시간 사이 $t_1$ 과 $t_2$, 질량 입자는 매 순간 운동 및 인력 위치 에너지의 합을 최소화하는 경향이 있습니다. $L=T-V$. 또한 적분을 극단화해야 할 때 우리가 선택하면 중요하지 않다면$L=T-V$ 또는 $L=V-T$.
편집 : 우리는 또한 동적 기계 시스템이 시간 독립적 인 평형을 이루는 경향이 있음을 알고 있습니다.$T=V$. 그것이 보유한다면$T \neq V$, 그러면 비평 형 상태는 모든 시간 간격에서 $T=V$즉, 작업을 최소화합니다. 이제 우리는$T \neq V$, 그러면 시스템은 분명히 어떤 균형 추구 행동을 가지고 있습니다 !
답변
당신이 지적했듯이 : 확실히 라그랑주 인들은 운동 에너지와 위치 에너지의 모든 상호 변환과 함께 감소와 증가 가 서로 일치해야 한다는 사실을 이용 해야합니다 .
우리는 다음과 같이 다시 말할 수 있습니다
. 전체 시간 동안 운동 에너지의 변화율은 위치 에너지의 변화율을 뺀 것과 같습니다.
수학적 표기법 :
$$ \frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt} \qquad (1) $$
물론이 방정식에서 마이너스 기호는 운동 에너지와 위치 에너지가 반대 방향으로 변하기 때문입니다.
나는이 방정식을 에너지 방정식이라고 부를 것 입니다. Lagrangian의 형태를 설명하려면 에너지 방정식이 필수적입니다.
아래 애니메이션은 7 개의 프레임으로 구성되어 있으며 각 프레임은 3 초 동안 표시됩니다.
결합 된 다이어그램의 왼쪽 상단 하위 패널에서 검은 색 선은 시험 궤적을 나타냅니다. 애니메이션은 다양한 궤적 변형을 통해 스윕합니다.
오른쪽 상단 하위 패널 :
빨간색 그래프 : 운동 에너지
녹색 그래프 : 위치 에너지 빼기
시험 궤적은 빨간색 그래프와 녹색 그래프가 모든 곳에서 서로 평행 할 때 실제 궤적에 도달합니다.
하기 위해서는 비교 잠재적 에너지의 그래프 (녹색) 마이너스 기호를 표현하는, 거꾸로 뒤집어되었습니다.
다이어그램은 다음 조건을 표시합니다.
총 지속 시간 : 2 초 (t = -1에서 t = 1까지)
중력 가속도 : 2m / s
물체의 질량 : 1 단위의 질량.
이러한 조건에서 실제 궤적은 높이 'h'를 시간 함수로 제공하는 다음 함수에 의해 제공됩니다.
$$ h(t) = -t^2 + 1 $$
변형은 다음과 같은 방식으로 구현되었습니다.
$$ h(t, p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1) $$
즉, 시범 궤적은 두 변수의 함수로 표현됩니다. 시간과 변동 파라미터 p_v 다이어그램에서 변동 파라미터의 (현재) 값은 슬라이더의 "노브"에 표시됩니다.
왼쪽 아래 하위 패널 :
0까지의 변동 매개 변수 값의 경우 녹색 그래프가 더 빠르게 변경되고 0보다 큰 변동 매개 변수의 값에 대해 빨간색 그래프가 더 빠르게 변경됩니다. 두 가지가 같은 비율로 변하는 지점은 변동 매개 변수가 0 일 때입니다.
궤적의 변화에 대한이 차이는 적분을 취함으로써 시각화됩니다. 아시다시피 적분에는 다음과 같은 속성이 있습니다. 그래프와 해당 그래프의 적분이있는 경우 그래프의 기울기 가 적분 값을 비례 적으로 변경 합니다 .
이것은 Lagrangian ($T - V$)에는 마이너스 기호가 있습니다.
라그랑주 역학은 에너지 방정식 (1)을 사용하여 운동 에너지의 변화율이 위치 에너지 의 변화율 과 일치 한다는 특성을 가진 궤적을 찾습니다 .
이 답변은 이전 버전의 더 긴 버전 의 단축 버전입니다 (동일한 7 프레임 애니메이션 사용).
OP의 휴리스틱 설명 (v3)에는 동적 및 운동 학적 특성의 올바른 물리적 요소가 포함되어 있습니다. $T$ 과 $V$ 라그랑지안 $L=T-V$추가 설명을 사용하는 것이 좋습니다. 수학적 증명에 대해서는 이 관련 Phys.SE 게시물을 참조하십시오 .