만약 $f$ 실제 함수, 연속 $a$ 과 $f(a) < M$, 열린 간격이 있습니다. $I$ 그런 것을 포함 $f(x) < M$ 모든 $x \in I$.

Question

f가 a와 f (a) 문제가있는 경우, I. 대답의 모든 x에 대해 f (x) 있습니다. 내가 사용한다면$\epsilon =M-f(a)$ 그것도 $\epsilon >0$ 과 $ \exists$ $ \delta>0$ 그래서 열린 간격이 있습니다 $I$ 그런 것을 포함 $f(x)<M$ 모든 $x \in I$. 나는 이것이 또한 정확하다고 생각하지만 확실하지 않습니다.

누구든지 내 대답을 확인할 수 있습니까?

$\underline{Edit}$

이제 $\epsilon = {M-f(a)}$, 명확하게 $\epsilon >0$, 따라서 열린 간격이 있습니다. $I=(a-\delta, a+\delta)$, 모든 $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ 보류.

그것은 다음과 같습니다 $f(x)<M$ 모든 $x \in I$

Answer 1

조건 $f$ 연속적이다 $a$즉 나타낸다 {식} \ lim_ 시작 \ {X \에 F} \ 좌측 (X \ 오른쪽) = F \ 좌측 (a \ 오른쪽). \ end {equation} 즉, 다음과 같은 명제가 있습니다. \ begin {equation} \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ 단부 {식} 그리고 그 명제가 \는 {} 식을 시작 F \ 좌측 (a \ 오른쪽) <M. \ 단부 {} 식 사실이 사용$M - f\left(a\right) > 0$, \ begin {equation} \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M-f \ left (a \ right), \ end {equation} 이는 \ begin {equation} \ 존재 \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {equation} 그러한 개방 간격이없는 경우$I$ 그 $f\left(x\right) < M$ 모든 $x \in I$, 그러면 다음과 같은 명제가 있습니다. \ begin {equation} \ forall \ delta> 0, \ exists x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label 분명히 우리의 결론과 모순되는 {sub} \ end {equation} .