모든 다항식 함수 찾기

Question

모든 다항식 찾기 $P(x)=a_0+a_1x+... a_nx^n; a_i \in Z$ 그런 $\forall x$:

$P(x)=(x-P(0))(x-P(1))...(x-P(n-1))$

나는 몇 가지 값을 대체했습니다. $0,1$다항식 계수에 대한 아이디어를 얻고 어떤 패턴을 보려고했지만별로 도움이되지 않는 것 같습니다. 또한 일반적인 함수 방정식이 아닌 다항 함수가 주어 졌기 때문에 미적분학이 여기서 역할을 할 수 있습니까?

Answer 1

우선, RHS의 주요 용어는 항상 $1$. 그래서 우리는$a_n = 1$우선 첫째로. 둘째, 설정$x=0$ 제공합니다 : \begin{align*} P(0) &= \prod_{i=0}^{n-1}-P(i)\\ &= (-1)^n \prod_{i=0}^{n-1}P(i)\\ &= P(0)(-1)^n \prod_{i=1}^{n-1}P(i) \end{align*}

이제 그는 두 가지 경우가 있습니다. $P(0) = 0$ 또는 아닙니다.

그것을 가정 $P(0) \neq 0$ $$1 = (-1)^n \prod_{i=1}^{n-1}P(i)$$ 그러나 그것을 감안할 때 $a_i \in Z$ 그것은 다음과 같습니다 $P(i) \in Z$ 그래서 $P(i) = \pm 1$ ...에 대한 $i > 0$. 따라서 다음 방정식을 유도합니다.

$$ P(x)=(x-a_0)(x+1)^k(x-1)^{n-1-k} $$ 와 $n-1-k$이상한. 그래서$P(1) = 0$ 정도가 모순입니다 $P$ 보다 크다 $1$ 그리고 우리는 $n=1$ 손으로. $$ P(x) = x - P(0) \implies x + a_0 = x - a_0 \implies a_0 = 0$$ 모순.

그래서 $P(0) = 0$. 허락하다$P(x) = xQ(x)$. 그렇다면$Q$ 상수 다항식이 아닙니다. $$ Q(x) = (x - Q(1))(x-2Q(2))...(x-(n-1)Q(n-1)) $$ 다시, 선행 계수는 다음과 같습니다. $1$. 환경$x=m \in \{1,...,n-1\}$ 준다 $$Q(m) = (m-mQ(m))c_m = -mc_m(Q(m)-1) \implies \\ \frac{Q(m)}{Q(m)-1} = -mc_m \in Z $$ RHS는 다음과 같은 경우에만 정수가 될 수 있습니다. $Q(m) = 0$ 또는 $Q(m) = 2$. 첫 번째가 사실 일 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 자, 만약$Q(m) = 2$ 그때 $Q(2) = 0$ 그것은 모순입니다 $Q$ 정도이다 $1$. $$ Q(x) = x - Q(1) \implies x + c = x - (1+c) \implies c = -1/2$$ 이것은 정수가 아닌 모순입니다. $a_i$ 에 $P(x)$.

그리고 우리는 끝났습니다. $Q(x)$ 그것을 의미 $Q$ 유일한 해결책은 $P(x) = x$.

편집 : 사실, $Q(m) = 0$ 또는 $2$부분에 문제가 있습니다. 그것은 둘 중 하나 일 수 있고 나는 그것이 항상 둘 중 하나 일 수 없다는 것을 보여주었습니다. 이를 우회하려면$Q(1)$ 될 수 없다 $0$ 언제 $Q(2) = 2$.