외적에 대한 공식
두 벡터의 외적에 대한 공식 $R^3$, $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 과 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 이다 $$\det\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}$$
나는 일반적으로 세 개의 3D 벡터에 대해 행렬식이 평행 육면체의 부피를 나타냅니다. 그러나 (기초) 벡터를 넣는 것이 어떻게 유효합니까?$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$벡터로 변환하고 그래픽 / 직관적 인 의미는 무엇입니까? 이 공식의 초기 동기는 무엇 이었을까요?
참고 : 이미 유사한 질문과 해당 답변을 읽었지만 만족스럽지 않았습니다. 그러니이 질문에 반대표를 던지지 말고 가능하다면 제게 통찰력을주십시오.
답변
위의 댓글에 비디오를 연결했지만이 답변에서 비디오의 아이디어를 요약하겠습니다. 해결해야 할 두 가지 질문이 있습니다.
- 두는 것이 의미가있는 이유 $\mathbf{i,j,k}$ 결정자로?
- 이것이 어떻게 외적의 기하학적 속성을 가진 벡터를 생성합니까?
우선, 나는 외적의 "자연적인"형태가 벡터의 형태가 아니라 함수의 형태라고 주장합니다. 두 벡터가 주어짐$\mathbf a, \mathbf b$, 외적은 실제로 기능입니다. $f_{\mathbf a,\mathbf b}: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ 정의 $$ f_{\mathbf a,\mathbf b}(\mathbf x) = \det\pmatrix{x_1 & x_2 & x_3\\a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3}. $$ 다시 말해, $f_{\mathbf a, \mathbf b}$ 벡터를 입력으로 취하는 함수입니다. $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3)$, 출력으로 가장자리가있는 평행 육면체의 볼륨을 생성합니다. $\mathbf{a,b,x}$. 이 함수는 선형 함수이고 모든 선형 함수 이기 때문에 벡터로 생각하기 쉽습니다.$f:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ 형식으로 작성할 수 있습니다. $$ f(\mathbf x) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3. $$ 벡터 $\mathbf p = (p_1,p_2,p_3)$ 함수를 "인코딩"하는 방법으로 생각할 수 있습니다. $f$, 우리는 $f(\mathbf x) = \mathbf p \cdot \mathbf x$, 어디 $\cdot$내적을 나타냅니다. 이것은 질문 1에 대한 답으로 이어집니다.$\mathbf {i,j,k}$ 맨 위 행 항목이 있으면 벡터로 끝납니다. $p_1 \mathbf i + p_2 \mathbf j + p_3 \mathbf k$. 벡터$\mathbf{i,j,k}$ 입력 좌표에 대한 자리 표시 자 역할 $x_1,x_2,x_3$: 계산하면 $\mathbf p \cdot \mathbf x$, 우리는 $$ p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3, $$ 다음 항목을 사용하여 행렬식을 계산하면 정확히 얻었을 것입니다. $\mathbf x$ 맨 위 행으로, 즉 계산 한 경우 $f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x)$ 내가 위에 준 정의에서.
질문 2에 대해 다음과 같이 관찰 할 수 있습니다.
- 만약 $\mathbf x$ 다음 중 하나입니다 $\mathbf a$ 또는 $\mathbf b$, 다음 $\mathbf p \cdot \mathbf x = f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = 0$. 그래서,$\mathbf p$ 둘 다에 직교합니다 $\mathbf a$ 과 $\mathbf b$.
- 우리가 연결하면 $\mathbf x = \mathbf p/\|\mathbf p\|$, 그러면 우리는 $\mathbf p \cdot \mathbf x = \frac{\mathbf p \cdot \mathbf p}{\|\mathbf p\|} = \|\mathbf p\|$. 결정자의 긍정 성에서 우리는 방향이$\mathbf p$ 그런 $\mathbf p, \mathbf a, \mathbf b$오른 손잡이 시스템을 형성합니다. 사실에서$f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = \|\mathbf p\|$, 우리는 그것을 추론 할 수 있습니다 $\|\mathbf p\|$ 모서리가있는 평행 사변형의 면적과 같습니다. $\mathbf a, \mathbf b$.
이를 통해 외적의 속성을 추론합니다. $\mathbf p = \mathbf a \times \mathbf b$ 항상 직교 $\mathbf a , \mathbf b$. 언제$\mathbf p \neq \mathbf 0$, $\mathbf p$ 방향을 가리 킵니다. $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf p$오른 손잡이 기반을 형성합니다. 드디어,$\|\mathbf p\|$ 변이있는 평행 사변형의 면적 $\mathbf a, \mathbf b$.
여러 의견이 지적했듯이, 여러분이 작성한 것은 실제 공식이 아닌 니모닉 장치입니다. 여기에 동일한 정신으로 실제 공식이 있습니다.$$\eqalign{ \vec a\times \vec c &= &{\bf i}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf i&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ \;&{\bf j}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf j&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ &{\bf k}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf k&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ }$$