파티션 세트의 Infimum

Question

허락하다 $A\neq \varnothing$ 및 표시 $\operatorname{Part}(A)$ 파티션 세트 $A$. 에 대한$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ 우리는 설정 $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

허락하다 $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. 보여줘$T$ 에 대해 불명확하다 $\leq$.

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나는 실제로 그것을 보여주고 싶습니다 $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

선택의 공리를 사용하지 않고 이것을 쓸 수 있습니까?

그렇지 않다면 어떤 다른 방법으로 $\inf T$, 만약 있다면?

Answer 1

스케치 : 각각 $S\in\operatorname{Part}(A)$ 과 $a\in A$ 허락하다 $[a]_S$ 의 일부가되다 $S$ 포함하는 $a$. 그것을 관찰하십시오$S\le S'$ iff $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ 각각 $a\in A$. 주어진$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, 각각 $a\in A$ 허락하다 $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, 그리고 $C=\{C_a:a\in A\}$.

• 보여줘 $C\in\operatorname{Part}(A)$. 분명하다$\bigcup C=A$, 그래서 당신은 $a,b\in A$, 및 $C_a\ne C_b$, 다음 $C_a\cap C_b=\varnothing$.

분명히 $C_a\subseteq[a]_S$ 각각 $S\in T$이므로이 시점에서 $C\le S$ 각각 $S\in T$.

• 그런 다음 $L$ 에 대한 하한입니다. $T$, 다음 $L\le C$. 이 경우$L$ 에 대한 하한입니다. $T$, 그렇다면 $[a]_L\subseteq C_a$ 각각 $a\in A$.

이 중 어느 것도 선택의 공리를 요구하지 않습니다.

Answer 2

허락하다 $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ 그것을 관찰하십시오 $X\in\operatorname{Part}(A)$.

우선, 우리는 $X\le S$, 모든 $S\in T$. 허락하다$L\in X$, 다음 $L=\bigcap_{S\in T} C_S$,와 함께 $C_S\in S$. 명백하게,$L\subseteq C_S$ 모든 $S\in T$, 즉 $X\le S$ 모든 $S\in T$. 그래서$X$ 하한입니다.

이제 우리는 $X$ 즉 가장 큰 하한입니다. $Y\in\operatorname{Part}(A)$ 그런 $Y\le S$ 모든 $S\in T$, $Y\le X$. 가정$Y$ 그런 요소이며 $M\in Y$. 자, 왜냐하면$Y\le S$, 모든 $S\in T$, 우리는 $M\subseteq C_S$, 일부 $C_S\in S$, 모든 $S\in T$. 명백하게$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$, 및 $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. 그래서$Y\le X$, 및 $X$ 의 infimum입니다 $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.