PDF 추출 $\chi_k^2$
허락하다 $\{X_i\}_{i=1}^{k}$ 다음과 같은 독립 확률 변수의 시퀀스 $X_i\sim N(0,1)$, 그런 다음 랜덤 변수 $\sum_{i=1}^kX_i^2\sim\chi_k^2$. PDF가$\chi_1^2$인 {식} F (x)를 시작 \ = \ FRAC {1} {\ SQRT {2} \ SQRT {\ PI}} \ EXP (- \ FRAC {X} {2}) X ^ {- \ FRAC { 1} {2}} 1 _ {[0, \ infty)} \ text {. } \ end {equation} 다음 과 같은 경우$X$ 과 $Y$ PDF와 절대적으로 연속적이고 독립적입니다. $f$ 과 $g$ 각각 $X+Y$ PDF와 절대적으로 연속적입니다 $h(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy$, 또한 $\{Y_i\}_{i=1}^k$ 절대적으로 연속적이고 독립적입니다. $\sum_{i=1}^kY_i$PDF \ begin {equation} h (x_1) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ cdots \ int _ {\ mathbb {R}} f_1 (x_1- \ sum_ {i = 2} ^ kx_i) \ prod_ {i = 2} ^ {k} f_i (x_i) dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} 여기서$f_i$ PDF입니다 $Y_i$. 이것을 적용$Y_i:=X_i^2$단순화하면 \ begin {equation} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (-\ frac { x_1} {2} \ right) \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 3} ^ kx_i ^ {-\ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i} ((x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i) -x_2) ^ {-\ frac {1} {2}} x_2 ^ {-\ frac {1} {2}} dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} 가장 안쪽 적분을 수행하면 다음과 같습니다.$\pi$, 그래서 \ begin {equation} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (-\ frac {x_1} { 2} \ 오른쪽) \ pi \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 4} ^ kx_i ^ {-\ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ \ infty x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} 하지만 이제 가장 안쪽의 적분이 갈라 지므로 분명히 여기에서 뭔가 잘못되었습니다. 실수를 찾아 내도록 도와 주시겠습니까?
편집하다
주요 질문은 이미 해결되었습니다 (감사합니다!) , 이제 재미로 정의하면$a_i=x_1-\sum_{j=i}^kx_j$, 그러면 $a_i=a_{i+1}-x_{i+1}$, 그래서 이제 문제는 \ begin {equation} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} {2} \ right) \ pi \ int_ {0} ^ {a_k} x_k ^ {-\ frac {1} {2}} \ cdots \ int_ {0} ^ {a_4} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {a_3} x_3 ^ {-\ frac {1} {2}} dx_3dx_4 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} 첫 번째 가장 안쪽 적분 계산 패턴을 찾으려고하면 다음이 표시됩니다. \ begin {gather} \ int_ {0} ^ {a_2} (a_2-x_2) ^ {-\ frac {1} {2}} x_2 ^ {-\ frac {1} {2}} dx_2 = \ pi a_2 ^ 0 \\ \ int_ {0} ^ {a_3} (a_3-x_3) ^ {0} x_3 ^ {-\ frac {1} {2}} dx_2 = 2a_3 ^ {\ frac {1} {2}} \\ \ int_ {0} ^ {a_4} (a_4-x_4) ^ {\ frac {1} {2}} x_4 ^ {-\ frac {1} {2}} dx_2 = \ frac {\ pi} {2} a_4 ^ 1 \ text {,} \\ \ end {gather} 패턴은$a$의, 그러나 그렇게 많이 $\pi$의 및 비$\pi$계수. 다음과 같이$\frac{4}{3}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{16}{15}$, $\frac{5\pi}{16}$, $\frac{32}{35}$, $\frac{35\pi}{128}$, $\frac{256}{315}$, $\frac{63\pi}{256}$, ... 그리고 좀 이상해 !! PDF를 유도하여 마침내 도출한다는 목표로 여기서 패턴을 찾기가 정말 어렵습니다.$\chi_k^2$ (특징적인 기능이 갈 길이라는 것을 알고 있지만 여전히 재미 있고 싶습니다!)
답변
가장 바깥 쪽 적분에는 상한이 있어야합니다. $x$, 아닙니다 $\infty$. 예를 들어$\chi_2^2$ 케이스 감소$$\int_0^x\frac{1}{2\pi\sqrt{y(x-y)}}\exp\frac{-x}{2}dy\stackrel{y=x\sin^2t}{=}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\pi}\exp\frac{-x}{2}dt=\frac12\exp\frac{-x}{2}.$$
다음은 다른 접근 방식입니다. $\chi_1^2$ 분포에는 특징적인 기능이 있습니다 $(1-2it)^{-1/2}$, $\chi_k^2$ 케이스는 cf $(1-2it)^{-k/2}$. 하나의 PDF 만이 cf를 가질 수 있습니다. 검사를 통해$\frac{2^{-k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp\frac{-x}{2}$ 의 위에 $[0,\,\infty)$.
증명 한 후 $X_i^2\sim \chi_{(1)}^2$ 사실에 따라 $X_i$ 독립 $X_j$ 또한 의미 $X_i^2$ 독립적이다 $X_j^2$ MGF와 그 속성을 사용하여 PDF를 즉시 파생 할 수 있습니다.