포지티브 속 Fuchsian 그룹
허락하다 $G$ 격자가되다 $SL(2,\mathbb{R})$. 유한 인덱스 부분 군이 존재한다는 것이 항상 사실입니까?$F$ 의 $G$ 몫 표면이 $\mathbb{H}/F$속이 긍정적입니까? 충분히 일반적인 가정 하에서 진술이 사실입니까? 참조를 추가 할 수 있습니까?
답변
예, 사실입니다. 그러나 이것을 증명하는 것이 참조를 찾는 것보다 쉽습니다.
유한하게 생성 된 모든 행렬 그룹 (예 : $PSL(2, {\mathbb R})$비틀림없는 하위 그룹을 포함합니다. 일반적인 결과뿐만, Selberg에 의한 개별 의 서브 그룹$PSL(2, {\mathbb R})$ 그것은 분명히 이전에 알려졌습니다.
1 관점에서 볼 때 모든 표면이 $S$ 2 차원 구에 동종 $n\ge 3$ 펑크는 유한 덮개를 인정합니다 $S'\to S$ 그런 $S'$속이 긍정적입니다. 먼저 가정하십시오$n$이상하다. 서라운드 펑크$p_i$ 작은 루프로 $c_i$. 나는 이것들을$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. 이제 동형을 고려하십시오$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ 첫 번째 화살표는 Hurewicz이고 두 번째 화살표는 $[c_1], [c_2]$ ...에 $1$ 그리고 나머지 $[c_i]$~까지 $0$. 2 단 커버를$S_1\to S$ 커널에 해당 $\alpha$. 그때$S_1$ 이다 $2+ 2(n-2)$-시간 천공 된 구체. 따라서 천공 횟수가 짝수 인 구의 경우 문제가 줄어 듭니다.
허락하다 $S$ 있다 $S^2$ 와 $n=2k\ge 4$펑크. (2)와 유사하게 동형을 정의하십시오.$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
두 번째 화살표가 모두 보내는 곳 $[c]_i$의 0이 아닌 요소에 ${\mathbb Z}_2$. 허락하다$S'\to S$ 커널에 해당하는 2 겹 덮개를 나타냅니다. $\beta$. 그때$S'$ 가질 것이다 $2k$ 구멍과 속 $k-1>0$. (이것은 표면의 위상에 대한 연습입니다.$S'\to S$콤팩트 표면의 겹친 커버링을 하이퍼 타원 커버링 맵 이라고합니다 .)
편집하다. 1. 참조를 원하시면 최적의 결과는
Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Fuchsian 그룹의 비틀림없는 하위 그룹 및 표면 테셀레이션 , Invent. 수학. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .
다음과 같이 표현할 수 있습니다. $F_1, F_2$ 격자는 $G=PSL(2, {\mathbb R})$. 그때$F_2$ 삽입 $F_1$ (추상 그룹으로) 인덱스 포함 $k$Riemann-Hurwitz 조건 이 충족 되는 경우에만 :$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
정의를 풀면 긍정적 인 속 질문에 대한 긍정적 인 대답을 의미합니다.
- 그 결과를 적용하기 위해서는 모든 격자가 $G$ 발표가있다 $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$이 프레젠테이션은 Fuchsian 함수에 대한 Poincare의 논문에서 찾을 수 있습니다. 그가 실제로 증명을 가지고 있는지 여부는 말하기 어렵지만 (이것은 내가 읽으려고했지만 다른 사람들이 동의하지 않을 수있는 Poincare가 쓴 거의 모든 것에 적용됩니다), 그는 결과를 증명하는 도구, 즉 볼록 기본 영역을 가지고있었습니다. Dehn의 논문에서보다 확실한 증거를 찾을 수 있습니다 (나는 시도하지 않았습니다). 격자에 대한 유한 생성 세트의 존재에 대해 내가 아는 가장 초기의 솔리드 참조$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ 이다
Siegel, Carl Ludwig , 불연속 그룹에 대한 일부 발언 , Ann. 수학. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .
당연히 Siegel은 기본 다각형을 사용하여 결과를 증명합니다. 그는 유한면 기본 다각형의 존재를 증명하고 결과적으로 몫의 영역에 대한 생성기 수에 대한 명시적인 상한을 결론지었습니다. ${\mathbb H}^2/\Gamma$. 이 유한성 정리는 연결된 거짓말 그룹의 격자에 대해 훨씬 더 일반적으로 유지되지만, 이것은 또 다른 이야기입니다 (누가 이것, 분명히 근본적인 결과를 믿을 지 불분명 할 정도로 복잡한 역사를 가지고 있습니다). 내가 확실하지 않은 한 가지는 :
연결된 Lie 그룹의 격자에 대한 유한 생성 세트의 존재는 알려져 있지만 몫의 부피 측면에서 생성기 수에 대한 명시 적 상한에 대한 확실한 참조를 알지 못합니다 (비틀림이없는 경우). .
- 각 격자가있는 "Fenchel의 추측"에 대해 $G=PSL(2, {\mathbb R})$비틀림없는 유한 인덱스 하위 그룹 포함 :이 이야기는 다소 기괴합니다. 추측이 처음 언급되었을 때 말하기 어렵거나 불가능합니다. Nielsen의 논문에 언급되어 있습니다.
J. Nielsen, det frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift에 대한 Kommutatorgruppen . B (1948), 49-56 쪽.
놀랍게도 Nielsen의 논문에는 어떤 언급도 포함되어 있지 않습니다.
그러나 Nielsen의 논문이 등장 할 당시 Fenchel의 추측은 이미 입증되었습니다. 증거는 주로 다음과 같이 포함됩니다.
Mal'tsev, AI , 행렬 에 의한 무한 그룹의 충실한 표현에 대해 , Am. 수학. Soc., Transl., II. Ser. 45, 1-18 (1965); Mat의 번역. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .
자, 각 격자 $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ 유한하게 생성되고 유한하게 많은 $\Gamma$-유한 차수 요소의 결합 클래스. (적어도 이것은 내가 말했듯이 Poincare에 알려졌을 가능성이있는 기본 다각형에 대한 Siegel의 정리에서 비롯된 것입니다.) Mal'tsev의 정리는 다음을 의미합니다.$\Gamma$ 유한하게 생성 된 행렬 그룹입니다. $\Gamma$-결합 수업 $C_1,...,C_k$, 유한 인덱스 하위 그룹이 있습니다. $\Gamma'< \Gamma$ 분리하다 $C_1,...,C_k$. 두 결과를 결합하면 모든 격자가$G=PSL(2, {\mathbb R})$ 유한 인덱스의 비틀림이없는 하위 그룹을 포함합니다.
Fenchel의 추측에 대한 완전한 해결책은 Fox에 의해 주장되었습니다.
Fox, Ralph H. , (F)-그룹에 대한 Fenchel의 추측, Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
Mal'tsev의 논문을 분명히 알지 못했던 사람. Fox의 솔루션은 부분적으로 오류가있는 것으로 밝혀졌으며 오류 (경우 중 하나에서)가 다음과 같이 수정되었습니다.
Chau, TC , Fenchel의 추측에 대한 Fox의 논문에 관한 메모 , Proc. 오전. 수학. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .
그 무렵 (23 년 전) Selberg는 다음과 같은보다 일반적인 결과를 입증했습니다.
Selberg, Atle , 고차원 대칭 공간의 불연속 그룹에 대해 Contrib. 함수 이론, Int. Colloqu. 봄베이, 1960 년 1 월, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .
Selberg는 유한하게 생성 된 각 행렬 그룹에 유한 인덱스의 비틀림이없는 하위 그룹이 포함되어 있음을 증명했습니다. Selberg는 또한 Mal'tsev의 논문을 알지 못했지만 적어도 이미 거기에 있던 것을 다시 승인하지 않았습니다. 문제는 유한하게 생성 된 행렬 그룹이$\Gamma$ 무한히 많이 가질 수 있습니다 $\Gamma$-유한 하위 그룹의 결합 부류, 따라서 Mal'tsev의 결과를 단순히 적용 할 수는 없습니다.
Moishe Kohan의 증명에서 단계 (1)에 대한 설명. 이 문제 (유한 인덱스, 비틀림없는 격자$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$)는 "Fenchel의 추측"이라고 불 렸습니다. Ralph H. Fox에 의해 해결되었습니다. 그의 논문 참조 :
F- 그룹에 대한 Fenchel의 추측
이후 작업 (다른 교정 및 이전 작업에 대한 수정).