Rieman 통합, 불연속 매핑

Question

알다 $f\in\mathcal{R}$, 언제 $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, 그런 $f(x)=x$ 언제 $x \neq 1$, 및 $f(x)=-1$, 언제 $x=1$. 그래서$f$ 불연속이 있습니다 $1$.

허락하다 $P$ 분할하다 $[0,2]$, 그런 $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

이 분할에서는 왼쪽 또는 오른쪽에있는 하위 간격 만 고려합니다. $1$. 이것은 하위 간격이$\Delta x_i$불연속 점을 포함하는에는 상한선이 없습니다. $M_i$그것에 해당합니다. 차라리,$M_i$ 임의로 가깝다 $1$ 그리고 이것은 증명 측면에서 큰 골칫거리입니다.

여기에 실제 증거가 있습니다. 허락하다$P$위와 같을 수 있습니다. 그때$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

그리고이 경우 $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. 이 올바른지?

Answer 1

파티션을 선택했습니다 $P$ 포인트

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

이 경우

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

경향이 $0$ 같이 $n$ 경향이 $\infty$.

따라서 모든 $\epsilon > 0$ 상한 합과 하한 합의 차이가 다음보다 작은 파티션을 찾을 수 있습니다. $\epsilon$, 증명 $f$ Riemann 기준으로 통합 할 수 있습니다.