사후 분포 찾기

Question

나는 베이지안 통계를 가르치려고 노력하고 있으며 현재 다음 문제에 대한 사후 분포를 찾으려고 노력하고 있습니다.

가정 $X_1,...,X_n$ 밀도가있는 iid 지수 확률 변수입니다. $f(x;\theta) =\theta e^{-\theta x}$ , 그리고 우리가에 대한 사전이 있다고 가정합시다 $\theta$ 밀도로 $\theta^{\alpha -1}e^{-\beta \theta}$

이제 사후를 찾기 위해 Likelihood times Prior를 수행합니다. 가능성은 다음과 같습니다.

$$\theta^n e^{-n^2\theta \bar{x}}$$

그래서 우리는

$$\theta^{\alpha -1}e^{-\beta \theta}\theta^n e^{-n^2\theta \bar{x}}=\theta^{n+\alpha-1}e^{-n^2 \theta \bar{x} - \beta \theta}$$

그리고 제가 읽고있는 교과서에서 여러분은 사후 분포를 추론하기위한 것이지만 분명한 분포를 볼 수 없습니다. 내가 실수를 했습니까? 사후 밀도 함수에 랜덤 변수 (이 경우 x)가 포함될 수 있습니까?

Answer 1

당신의 가능성은 $n$ 대신에 $n^2$. 어쨌든, 당신이 찾은 함수는 감마 분포 의 pdf에 비례합니다 .