테니스 게임의 예상 세트 수
이 질문은 다른 포럼 사이트에 몇 개의 게시물이 있으며 인터뷰 질문의 예입니다. 어디에서나 정답이 없다고 생각해서 여기에 충분히 제시하겠다고 생각했습니다.
3 세트 테니스 게임의 경우 2 세트 또는 3 세트로 마무리하는 것에 베팅 하시겠습니까? 각 플레이어가 세트를 이길 확률은 게임 내내 일정하다고 가정합니다.
답변
실제로 예상 값을 단순화하면 더 명확합니다.
$$\begin{align*} 2(p^2+q^2)+3(2qp^2+2pq^2)&=2(p^2+q^2)+3(p+q)(2pq)\\ &=2(p^2+q^2)+3(2pq)\\ &=2(p+q)^2+2pq\\ &=2+2pq\\ &\le 2+2\left(\frac12\right)^2\\ &=2.5\,, \end{align*}$$
그래서 하나에 베팅해야 $2$-세트 일치.
가능한 경기 결과 순서를 고려하여 각 결과의 확률을 계산할 수 있습니다.
Q로이긴 첫 번째 플레이어와 이길 확률 q를 표시합니다. 마찬가지로 다른 플레이어가 p를 이길 확률과 P가 이길 확률을 표시합니다.
가능한 시퀀스는 다음과 같습니다.
$$QQ, PP, QPQ, QPP, PQP, PQQ$$
$QQ$ 플레이어를 의미 $q$ 두 세트 모두에서 이겼고이 결과는 $q^{2}$. 마찬가지로 결과$PQQ$ 있다 $p$ 첫 번째 세트 우승 후 $p$ 다음 두 세트에서 승리하므로이 시퀀스는 $pq^{2}$, 등등.
따라서 예상되는 세트 수는 다음과 같습니다.
$$ E(sets) = 2 * (p^{2} + q^{2}) + 3 * (2qp^{2} + 2pq^{2}) $$
p = q로 설정하면 다음과 같은 값이 제공됩니다. $2.5$예상되는 세트 수-즉 2 개 또는 3 개 세트가 똑같이 가능합니다. 플레이어 q와 p가 점점 더 왜곡 된 확률 값을 할당함에 따라 예상되는 세트 수는 다음과 같이 수렴합니다.$2$.
이 질문에 대한 많은 답변은 다음과 같은 논리를 복사하여 붙여 넣은 것 같습니다.
'$p^2 + q^2$ 항상 $>= 2*p*q$'
이것이 질문과 어떤 관련이 있는지 모르겠습니다. 필수 제약은$p + q = 1$, 의미하는 것은 $ p^{2} + q^{2} = 1 - 2*p*q$, 그러나 아마도 나는 이것에 대해 뭔가를 놓친 것입니다.
두 선수의 승리 확률이 $p$ 과 $q$ (와 $p+q=1$), 게임이 두 세트로 끝날 확률은 $p^2+q^2$, 3 세트 지속될 확률은 $2pq$. 이후
$$(p^2+q^2)-2pq=p^2-2pq+q^2=(p-q)^2\ge0$$
두 세트 후에 끝날 것이라고 베팅하여 잘못 될 수 없습니다. 불평등이 엄격하기 때문에$p\not=q$(즉, 한 선수가 다른 선수보다 강하다면) 두 세트 후에는 선수들의 힘이 같지 않을 가능성에 대해 베팅 해야합니다 .
그러나이 분석은 암묵적인 독립 가정, 즉 한 게임의 결과가 다른 게임의 결과에 영향을 미치지 않는다는 데 결정적으로 의존한다는 점에 유의하십시오. 3 세트 테니스 게임의 데이터베이스를보고 3 세트에 의해 얼마나 많은 것이 결정되는지 확인하는 것은 재미있을 것입니다.