우리는 존재를 보장 할 수 있습니까? $\epsilon' > 0$ 이 불평등을 유지하는 그런가?

Question

저는 현재 곱셈 한 도법을 증명하려고합니다.

허락하다 $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ 수렴 된 실수 시퀀스이고, $X, Y$ 실수이다 $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ 과 $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$

둘 다 이후 $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ 과 $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ X와 Y에 각각 수렴합니다. $|a_n - X| \leq \epsilon'$ 과 $|b_n - Y| \leq \delta$.

우리는 또한 책의 앞부분에서 증명 한 일부 기본형을 통해 $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.

이것은 완벽합니다. $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ 임의의 $\epsilon > 0$, 내가 존재한다는 것을 보여주는 한 $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ 그리고 일부 존재 $0 < \delta < 1$ 그런 $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$

부동산의 아르키메데스 속성을 사용하여 첫 번째 부분을 증명할 수 있지만 두 번째 부분에 대해서는 잘 모르겠습니다. 두 번째 부분은 우리가 임의로 작은 것을 선택할 수 있기 때문에 작동해야한다고 느낍니다.$\delta$,하지만 증명할 수 없습니다. 내가 뭘 잘못하고 있니? 이 증명을 약간 변경하여 작동시킬 수 있습니까?

Answer 1

만약 $a_n \to a, b_n \to b$ 다음 몇 가지 $M$ 그런 $|a|,|b_n| \le M$.

그때 $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.

이제 선택 $N$ 충분히 큰 $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.