열대 섬의 보물

Question

제 증조 할아버지는 그가 돌아가 셨을 때 가족에게이 쪽지를 남겼지 만 아무도 감히 그것을 시도하지 않았습니다.

90.888 ° N, 123.456 ° E에 위치한 열대 섬에는 범인과 배신자를 교수형에 처했습니다. 야자수와 바나나 나무도 있습니다. 교수대 아래에 서서 야자수까지 똑바로 걸어가십시오. 걸음 수를 기록해 둡니다. 직각으로 우회전하고 같은 수의 걸음을 걷습니다. 이 지점을 기록하고 교수대로 돌아갑니다. 이제 바나나 나무로 똑바로 걸어 가서 얼마나 많은 걸음을 걸 었는지 기록하십시오. 수직으로 좌회전하고 같은 수의 걸음을 걷습니다. 이전에 기록한 지점까지 걸어가 중간에 멈 춥니 다. 똑바로 파 내면 보물이 거기에있을 것입니다.

나는 섬에 도착하여 두 나무를 모두 찾았습니다. 그러나 교수 대는 보이지 않습니다. 아마도 지난 수세기 동안 완전히 썩었 기 때문일 것입니다. 불행히도 이것은 내가 가이드를 밀접하게 따를 수 없다는 것을 의미합니다. 섬은 충분히 커서 무작위로 파는 것은 체력 낭비 일 뿐이므로 다음에 무엇을해야할지 모르겠습니다.

더 이상 보물을 찾을 수 있습니까? 아니면 포기해야합니까?

Answer 1

전체 구성을 ...

... 복잡한 평면

G, P, B, T는 나 무이자 보물 인 교수대의 위치로합시다.

그럼 첫 번째 포인트 $P_1$ 는 야자 나무의 위치와 교수대로부터의 거리를 직각으로 회전하고 P에 추가 한 것입니다.

$P_1 = P + (P-G)\cdot(-i)$

두 번째 요점 $B_1$ B와 비슷하지만 좌회전 :

$B_1 = B + (B-G)\cdot i$

그런 다음 보물은 그들 사이에 있습니다. $$T=\frac{P_1+B_1}2$$ 그것은

$T = \big((P + (P-G)\cdot(-i)) + (B + (B-G)\cdot i)\big)/2 \\ = \big((P+B) + (B-P)i + (G-G)i)\big)/2 \\ = \frac{P+B}2 + \frac{B-P}2i$

보시다시피 교수대의 위치는 ...

공식에서 사라짐 – 보물의 위치는 두 나무의 위치에서만 찾을 수 있습니다.

야자 나무에서 바나나 나무까지 반쯤 걸어 간 다음 왼쪽으로 돌아 다시 반쯤 걸어보세요. 그것이 파헤쳐 야 할 요점입니다.

Answer 2

간단히

야자 나무에서 바나나 나무까지 걸어 가면서 몇 걸음을 걸 었는지 확인하십시오. 그런 다음 반쯤 뒤로 걸어 우회전하고 나머지 반을 걸어 파십시오.

증명:

야자 나무, 바나나 나무, 교수대를 $P,B,G = (0,1),(0,-1),(x,y)$, 그리고 두 개의 주목 포인트는 $F,S$.
손바닥에서 우회전하면$PF$ 이다 $PG$ 시계 반대 방향으로 90도 회전하고 바나나에서 좌회전하면 $BS$ 이다 $BG$시계 방향으로 90도 회전했습니다.
이후$PG=\langle x,y-1 \rangle, PF=\langle 1-y,x \rangle$ 과 $F = (1-y,1+x)$; 마찬가지로, 이후$BG = \langle x,1+y\rangle, BS=\langle 1+y, -x\rangle$ 과 $S=(1+y,-1-x)$. 두 가지를 평균하면 보물의 위치를 ​​알 수 있습니다.$(1,0)$.
인터랙티브 다이어그램!

Answer 3

글쎄 ... 조금 계산 해보자. 첫째, 변수

Ax, Ay : 교수형
P1x, P1y : 야자 나무
P2x, P2y : 야자 나무
B1x, B1y : 바나나 나무
B2x, B2y : 바나나 나무
Tx 까지 걸어 간 후 도달하는 지점 , Ty : 목표 지점.

객관적인:

순수하게 B1x / B1y 및 C1x / C1y에서 Tx / Ty를 찾으려고합니다.

가정 :

섬이 사실상 평평하다고 가정 할 것입니다.

... 이제 텍스트에서 무엇을 도출 할 수 있는지 살펴 보겠습니다.

목표 위치는 두 개의 나무 후 지점 사이에 있으므로 ...
Tx = (P2x + B2x) / 2
Ty = (P2y + B2y) / 2 교수 대가

손바닥으로 향하고 우회전합니다. 교수 대는 바나나로, 좌회전합니다.

우회전 : x의 최종 델타는 y의 원본 델타입니다. y의 최종 델타는 x의 음의 원본 델타입니다.
좌회전 : y의 최종 델타는 x의 원본 델타입니다. x의 최종 델타는 y의 음의 원본 델타입니다.

P2x = P1x + P1y- Ay
P2y = P1y + Ax-P1x

B2x = B1x + Ay-B1y
B2y = B1y + B1x-Ax

Tx = (P1x + P1y-Ay + B1x + Ay-B1y) / 2
Ty = (P1y + Ax-P1x + B1y + B1x-Ax) / 2

Tx = (P1x + B1x + P1y-B1y) / 2
Ty = (P1y + B1y + B1x-P1x) / 2

따라서 결론적으로 ...

보물은 두 나무 사이의 선이 그 지름이되도록 정의 된 원의 어딘가에 있습니다. 중간 지점을 중심으로 한 거리의 절반 반경입니다. 또한 원본으로 돌아가서 바나나와 팜을 구별 할 수 있다는 것을 알면 반원으로 줄일 수 있습니다. 손바닥이 오른쪽에 있으면 발굴 지점이 나무 옆에 있습니다. 왼쪽에 있다면 파는 지점은 나무의 반대편에있을 것입니다.

그래서 ... 아직 파헤쳐 야 할 일이 있지만 너무 많지는 않습니다 .