용기의 소금-ODE 문제

Question

우리는 최대 1000 리터를 담을 수있는 물통을 사용합니다. 물통에는 처음에 500 리터의 물이 들어 있으며 여기에 20kg의 소금이 녹아 있습니다. 용기에 교반이 있으므로 소금 농도는 모든 곳에서 동일합니다.

깨끗한 물은 4L / min의 속도로 용기로 흘러 들어갑니다. 동시에 소금물은 2L / min의 속도로 용기에서 흘러 나옵니다. 컨테이너가 1000L에 불과하기 때문에 문제가 발생합니다. 잠시 후 용기가 채워져 알람이 울립니다.

(a) 알람은 언제 울립니 까?

이 문제를 설명하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

알람이 울리면 소금 함량이 10kg이라고 명시되어 있습니다. $y(250)=10$. 알람이 울리 듯 유입이 바뀌어 소금물이 35g 당 소금물이 흐르도록합니다. 1L / min의 속도로 리터. 아직 2L 당 흘러 나옵니다. 분.

(b) 용기에 다시 500L가있을 때 용기에 소금이 얼마나 들어 있습니까?

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내 대답 : 음 (a)는 꽤 쉬웠습니다. 이후 250 분 후에 알람이 울릴 것입니다. $500+2\cdot 250=1000$그러면 알람이 울립니다. 그러나 마지막 부분, 즉 (b)는 나에게 쉽지 않습니다. 방금 얻은 정보에서 ODE를 만들어야한다고 생각하지만 여기에서는 여러 번 시도했습니다. 이 문제는 더 많은 질문이있는 책에서 나왔음을 알 수 있습니다. 방금 관련 부분을 선택했습니다. (b) 책에서 "자발적"으로도 언급됩니다. 이것은 숙제 문제가 아닙니다.

Answer 1

파트 (b)의 경우

당신은 가지고 $1000$ 시작해야 할 물 1 리터 $10$ kg의 소금.

물의 양은 1 리터 / 분의 속도로 감소하고 있습니다 (1 분마다 1 리터가 흐르고 2 리터가 흘러 나옴). 그것은 걸릴 것이다$500$ 줄일 분 $1000$ 리터 ~ $500$ 리터.

시간이 지나면 탱크에 남아있는 물의 양 $t$ 분 $= 1000 - t$

소금은 $0.035$ kg / 분

있다고 말해 $y$ 주어진 시간에 소금 kg $t$ 에 $1000-t$ 물 1 리터.

그런 다음 시간에 $t$, 소금은 $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (같이 $2$ 분당 리터)

그래서 소금의 변화율 $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

의 말을하자 $x = 1000 - t$ 그런 다음 대체로

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(나는)

이제이 선형 방정식을 풀기 위해 적분 인자를 사용해야합니다. 확인을 위해 WolframAlpha를 사용했습니다.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

양쪽에 곱하기 $\mu$ (i)에서,

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

다시 대체 $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

에서 $t = 0$, 있습니다 $10$ kg의 소금.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

그래서 상수 $c = -\frac{25}{1000^2}$

에서 $t = 500$,

총 소금 $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ 킬로그램.