Całka z $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Pozwolić $1 \leq p < \infty$ i pozwól $d$być dodatnią liczbą całkowitą. Chcę to pokazać$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Z powodu $L^p$norma, całka nie jest promieniowo symetryczna. Jeśli przekonwertuję na współrzędne sferyczne, otrzymam$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ gdzie $\sigma$jest miarą kulistą. Jak mam teraz postępować? Albo alternatywnie, jak mam obliczyć tę całkę? Byłbym wdzięczny za szczegółowe obliczenia!

Answer 1

Prostym podejściem jest zobaczenie tego dla każdego $f$ mamy taką, że całka na LHS poniżej istnieje $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ gdzie $K_{p,d}$ nie zależy od $f$ (powiedzmy, że zastępujemy $x=tg(y)$ gdzie $x=g(y)$ jest parametryzacją $\|x\|_p=1$; jakobian takiego podstawienia ma postać$t^{d-1}h(y)$ z odrobiną $h$ nie zależy od $t$).

Znaleźć $K_{p,d}$, wybieramy $f$tak, że obie strony \ eqref {maineq} są łatwe do obliczenia. Brać$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ po to aby $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Aby uzyskać odpowiedź, pozostaje postawić$f(t)=e^{-t}$ w \ eqref {maineq}.