A independência linear é preservada sob transformações lineares com kernel trivial

Question

O exercício que estou tentando provar é:

E se $T:V\to W$ é uma transformação linear com $\ker T=\{0_V\}$. E se$v_1,v_2,\cdots, v_k \in V$ são linearmente independentes, então $T(v_1),T(v_2),\cdots, T(v_k) \in W$ também são linearmente independentes.

O que tentei analisar a partir disso, é que, se $\ker T=\{0_V\}$ e $v_1,v_2,\cdots, v_k\in V$ são linearmente independentes, então, $v=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_kv_k=0_V=\ker T$ é uma combinação linear onde $a_i \in \mathbb{R}$ e $a_i=0$ para $i=1,2,\cdots,k.$

Isso deveria implicar que $T(v)=0_W$ para todos $v\in V$? E desde$T(v)=0_W$, isso implica que $T(v)=0_W=b_1w_1+b_2w_2+\cdots+b_kw_k$ e, portanto $T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_k)$ são elementos linearmente independentes de $W$?

Além disso, neste ponto, não tenho certeza se é realmente necessário definir $\ker T=\{0_V\}$ já que estamos dizendo isso $v_1,v_2,\cdots, v_k \in V$são linearmente independentes. Agradeço antecipadamente!

Answer 1

Assuma isso $$b_1T(v_1)+\cdots+b_kT(v_k)=0$$ vale para algumas constantes $b_1,..,b_k$. Você pode reescrever isso como$$T(b_1v_1+\cdots b_kv_k)=0$$ Agora você pode usar sua suposição sobre o kernel de $T$ e terminar a prova?

Answer 2

Estou entendendo direito? ... você está me dizendo se eu tenho um conjunto de vetores linearmente independentes que formam uma base e se eu sujeito esses vetores a uma transformação linear, obtenho um novo conjunto de vetores que formam uma base linearmente independente ?