$A/J(A)$é semisimples como $A$-módulo, então $A$é semisimples

Question

$A/J(A)$é semisimples como$A/J(A)$- ou$A$-módulo, então$A$é semisimples.

Isso é verdade? (pelo contra-exemplo gentilmente fornecido abaixo, isso não é.) Estou perguntando isso porque tenho um corolário do Teorema de Weddernburn que diz:

$A$é um$k$-álgebra tal que$A/J(A)$é Artiniano. Então os números de classes de isomorfismo de esquerda simples$A$-módulo e de direito simples$A$-módulos coincidem.

Na prova, o autor diz$J(A/J(A)) = 0$, conseqüentemente$A/J(A)$é semisimples. O resultado segue do teorema de Wedderburn.

Eu sei que o teorema de Wedderburn é sobre$A$sendo um semisimples$k$-álgebra. Então eu perguntei isso. Se não for verdade, então como usar o teorema de Wedderburn. Qualquer ajuda seria apreciada!

Answer 1

Contra-exemplo:$A=k[x]/x^2$. Observe que$J(A)= xA$e$A/J(A) \simeq k$que obviamente é simples como um$k$- e$A$-módulo.

Não é necessário o Teorema de Wedderburn para concluir que um anel artiniano$R$com$J(R)=0$é semisimples, que no que você descreve parece se aplicar a$R=A/J(A)$.

Então a afirmação sobre o número de classes de isomorfismo de módulos simples decorre do fato de que para qualquer anel$R$existe uma correspondência entre simples$R$-módulos e simples$R/J(R)$-módulos (basicamente porque$J(R)$necessariamente atua trivialmente em módulos simples), o que induz uma bijeção de classes de isomorfismo.