A probabilidade de erro do tipo II para este teste é _____?

Question

Suponha que X seja uma variável aleatória em {0, 1, 2,. . .} com pmf p (x) desconhecido. Para testar a hipótese$H_{0}$ : X ∼ $Poisson(1/2)$ contra $H_{1}$ : p (x) = $2^{−(x+1)}$para todo x ∈ {0, 1, 2,. . .}, nós rejeitamos$H_{0}$ se x> 2. A probabilidade de erro do tipo II para este teste é

(UMA) $1/4$

(B) $1−(13/8)e^{−1/2}$

(C) $1 −(3/2)e^{−1/2}$

(D) $7/8$

Quando tentei esta pergunta, a resposta que obtive foi $(3/2)e^{-1/2}$ Verifiquei e verifiquei novamente a questão e reli a definição de erro Tipo II, mas sem sucesso. Você pode me dizer onde errei?

Answer 1

Você está interessado na probabilidade de $p(x)=2^{-(x+1)} \leq 2$.

> sum(2^-(0:2+1))
[1] 0.875

que é a resposta (D).

Answer 2

Sua região de rejeição é $\{X < 2\},$ então o nível de significância é $\alpha = 1- P(X \le 2),$ Onde $X \sim \mathsf{Pois}(1/2).$ Conforme calculado em R, $\alpha \approx 0.0144.$

1 - ppois(2, 1/2)
[1] 0.01438768

Vamos começar olhando para um gráfico das distribuições de probabilidade de acordo com $H_0$ (azul) e $H_a$ (Castanho).

x = 0:15
pdf.0 = dpois(x, 1.2)
pdf.a = 2^(-(x+1))
hdr = "Null (blue) and Alternative Dist'ns"
plot(x-.1, pdf.0, type = "h", ylim=c(0,.5), col="blue", 
     lwd=2, ylab="PDF", xlab="x", main=hdr) 
 lines(x+.1, pdf.a, type="h", col="brown", lwd=2)
 abline(v = 2.5, col="red", lty="dotted")

A probabilidade do Tipo II para este teste não será pequena porque as distribuições sob $H_0$ e $H_a$são quase iguais. (Isso pode colocá-lo no caminho errado em sua tentativa de responder. Na prática, os testes úteis tendem a ser aqueles para os quais os erros Tipo I e Tipo II são relativamente pequenos.)

A probabilidade de erro tipo I (nível de significância) $\alpha$ é a soma das alturas das barras azuis na região de rejeição (à direita da linha pontilhada vertical).

A probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Portanto, a probabilidade de erro Tipo II é a soma das alturas das barras marrons à esquerda da linha pontilhada vertical:$1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8.$ Resposta (D).