A prova de cada PID é Noetheriana
Eu vi a prova dessa proposição aqui , mas tenho uma pergunta sobre isso.
A definição de anel noetheriano é que o anel é comutativo, e todo ideal de R é gerado finitamente, certo? O anel principal é todo ideal desse anel gerado por um único elemento, então está claro. Mas estou curioso sobre não é só o PID, mas também o anel principal é noetheriano?
Obrigado!
Respostas
Você está certo, não tem nada a ver com ser um domínio.
Em um anel ideal principal, todos os ideais são gerados finitamente porque, a fortiori , são gerados individualmente . Ou seja, um conjunto gerador de um elemento é um conjunto gerador finito!
O fato é que, em alguns contextos, os autores estão apenas se limitando a domínios. Portanto, não há grande mistério sobre a inclusão da condição de domínio, é apenas uma coisa de contexto.