Ajude a entender um Processo de Poisson

Question

apenas um rápido (presumivelmente). Só estou tentando entender algumas coisas:

Deixei $N_{t},t\geq 0$ser um processo de contagem. então dizemos que um processo de contagem é um processo de poisson de intensidade$\lambda$ E se

• as variáveis ​​aleatórias $N_{t+s} - N_{t}$ é independente de $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ para todos $s,t \geq 0$
• A variável aleatória $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Esta definição é equivalente a: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

que, pelo meu entendimento, nos diz que o processo só pode ser incrementado em um a cada passo de tempo. (terceiro ponto). Que a probabilidade de aumentar em um é dada por nossa intensidade multiplicada por quanto tempo estamos neste intervalo de tempo. e o segundo ponto é obviamente nosso elogio.

Então, falamos sobre tempos de incremento (que eu acredito que são iguais aos tempos de espera) $T_{1},T_{2},\cdots$ então nós dizemos isso $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ Ou seja, a primeira vez que chegamos acima de algum valor especificado (n)

então os tempos entre chegadas $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Então ... do meu entendimento então; $T_{n}$ é o momento em que contamos algum número maior que n. e $T_{n+1}-T_{n}$ é quanto tempo demorou para voltar do estado anterior?

Nesse caso, digamos que especificamos algum processo. pegaríamos algum valor de nosso processo de poisson, então esperaríamos um período de tempo determinado por um processo exponencial e, em seguida, obteríamos algum valor de nosso processo de poisson.

assim será. Valor de tempo exponencial 1: - contagem 1 - valor de tempo exponencial 2 - contagem 2 ... e assim por diante.

Answer 1

É, na melhor das hipóteses, bastante impreciso dizer "o processo só pode ser incrementado em um a cada passo de tempo", porque

• este é um processo de tempo contínuo, então não há "etapas de tempo" e
• não há intervalo de tempo tão curto que os processos não possam ser incrementados em mais de um durante esse intervalo de tempo; em vez disso, incrementar em mais de um é altamente improvável, mesmo em comparação com o evento muito improvável de um incremento durante um minúsculo intervalo de tempo.

No entanto, o processo pode ser incrementado em apenas um a cada vez que for incrementado.

Deve-se saber a diferença entre duas palavras diferentes: "elogio" (com um "i") e "complemento" (com um "e"). Se eu disser que sua postagem é brilhante, isso é um elogio (com um "i"). O complemento (com um "e") de XYZ é tudo o que precisa ser adicionado a XYZ para torná-lo completo . O fato de um "e" ser usado na mesma posição dentro da palavra em "complemento" e "completo" não é mera coincidência.