Avaliando $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$

Question

Eu devo avaliar a integral $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$. Resolvi tradicionalmente simplificando o diferencial para$1/x . \mathrm dx$. Isso dá a resposta como$0$. Mas de acordo com as soluções, a seguinte resposta foi dada como correta.

$$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{2}\left(e^2-e^{-2}\right)$$

Não vejo por que a solução deveria ser essa. Além de um logaritmo, os limites de integração são$-1$ para $1$, o que parece problemático. Alguém poderia confirmar o que está correto. Obrigado.

Answer 1

@VIVID está certo. A notação integral pode ser enganosamente concisa às vezes, quando comparada com somas como$\sum_{i=A}^{i=B}h(i)$. Precisamos colocar o equivalente a$i=$nos limites aqui. Quando escrevemos$\int_a^bf(x)dg(x)$, a convenção é que isso significa $\int_{g(x)=a}^{g(x)=b}f(x)dg(x)$, que para aumentar estritamente $g$ torna-se $\int_{x=g^{-1}(a)}^{x=g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx$.

Na maioria das vezes, você só encontra o caso $g(x)=x$. Para ser justo, algumas fontes pretendem limites$a,\,b$ para $x$ ao invés de $g(x)$. Isso não funcionaria aqui, porque$\ln x$ é indefinido em reais para $x\le0$.

Answer 2

Nota: neste problema,$\ln x \in [-1,1]$ que implica $x \in [1/e,~e]$( não $x \in [-1,1]$)

Faça uma substituição $(t = \ln x)$ para ver o que está acontecendo: $$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{-1}^{1}x^2 \mathrm dt\overset{t~\to~ x}=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\bigg|_{1/e}^e=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2e^2}$$

Answer 3

temos: $$I=\int_{-1}^1x^2d(\ln x)$$ e lembre-se de que podemos escrever isso como: $$d(\ln x)=\frac{d(\ln x)}{dx}dx=\frac1xdx$$ no entanto, devemos também considerar que temos: $$(\ln x)\in[-1,1]\Rightarrow x\in[e^{-1},e]$$

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Outra forma de pensar sobre esse problema seria usar a substituição, ou algo que eu ache uma boa visualização: $$x=e^{\ln x}\Rightarrow x^2=\left(e^{\ln x}\right)^2$$ então nós temos: $$I=\int_{-1}^1\left(e^{\ln x}\right)^2d(\ln x)=\left[\frac{e^{2\ln x}}{2}\right]_{\ln(x)=-1}^1$$

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Além disso, tente traçar um gráfico com $\ln x$ no eixo x e $x^2$ no eixo y e veja como isso se forma, espero que isso ajude :)

Answer 4

Discordo de todas as respostas e concordo com o ponto de vista do OP.

Pode-se argumentar que a variável independente é $x$ e a integral deve / poderia ter sido expressamente escrita como

$$\int_{x=-1}^{x=1} x^2 d \ln x = \int_{x=-1}^{x=1} x\, dx =0.$$

Afinal, eu vi essa notação usada como abreviatura para integração por partes e os limites referidos à variável independente ($x$) e não a uma função da variável.

O fato de que $\ln x$ não está definido para $x=-1$não exclui a possibilidade de que a integral seja uma integral de linha no plano complexo. Talvez um valor principal. Então temos outras preocupações (que não são intransponíveis), pontos de ramificação e cortes de ramificação ...