Avalie o seguinte limite trigonométrico:

Question

Pergunta: Avalie o seguinte limite $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \left\{\frac{2}{n}\right\}}{\left[2 n \tan \frac{1}{n}\right]\left(\tan \frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{n^{2}+\cos n}\right)^{n^{2}}$$ aqui {} e [] denotam a função da parte fracionária e a função do maior inteiro, respectivamente.

Resposta: A resposta a esta pergunta é dada como $1$, o problema é de um conjunto de problemas de prática avançada JEE.

Minha abordagem: descobri que este é o $1^{\infty}$ formulário, então tentei convertê-lo no formulário $$e^{\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}n^{2}.G(n)}$$ aqui $G(n)$ é a função entre parênteses, após esta etapa não posso prosseguir como o limite na potência de $e$ é muito confuso e não pode ser convertido em algum formato padrão, por favor ajude

Answer 1

Usando $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, nós temos para $n>2$

$$\begin{align} \sin(\{2/n\})&=\sin\left(2/n-\lfloor2/n\rfloor\right)\\\\ &=\sin(2/n)\cos(\lfloor2/n\rfloor)-\cos(2/n)\sin(\lfloor2/n\rfloor)\\\\ &=\sin(2/n)\\\\ &=2\sin(1/n)\cos(1/n) \end{align}$$

Além disso, para $n>2$, $\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor=2$.

Portanto, podemos escrever para $n>2$

$$\begin{align} \left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}&=\left(\cos^2(1/n)+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}\\\\ &=\left(1+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)^{n^2} \end{align}$$

ao que deixar $n\to \infty$ produz o limite cobiçado

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}=1$$