Big O e Little O

Question

Se $a_n = O(n^\alpha)$ e $b_n = o(n^\beta)$, prove isso $a_nb_n = o(n^{(\alpha + \beta)})$ e $a_n+b_n = O(\max(n^\alpha, n^\beta))$.

Para a parte sobre $a_nb_n = o(n^{(\alpha + \beta)})$, Eu entendo que devo configurá-lo para que

$|a_n| < Mn^\alpha$ para algum M real positivo para $n \geq n'$

$|b_n| < \epsilon n^\beta$ para todos os reais positivos $\epsilon$ para $n \geq n''$

Então eu escolho o máximo de n 'e n' ', e eu obtenho

$|a_nb_n| < M\epsilon n^\alpha n^\beta$.

Minha pergunta é: isso termina a prova? Se houver um M real positivo multiplicado por$\epsilon$, isso mapeia para todos $\epsilon$? Como você denota isso? Eu acho que esta é uma prova de análise real aqui ou posso apenas dizer que uma constante multiplicada por épsilon é apenas epsilon?

Para a prova de soma, torna-se grande-O em vez de pouco-O porque não pode ser mapeado para $\epsilon$ quando você adiciona as duas partes?

Agradeço antecipadamente a ajuda.

Answer 1

Para $a_n$ você usa a definição correta, ou seja $a_n \in O(n^\alpha)$: $\exists C>0, \exists N_1 \in \mathbb{N}, \forall n>N_1, |a_n| \leqslant C n^\alpha$.

Por pouco$o$ para $b_n \in o(n^\beta)$ vamos usar a seguinte definição: $\exists \varepsilon_n, \lim\limits_{n \to \infty}\varepsilon_n=0$ e $ \exists N_2 \in \mathbb{N}$ de tal modo que $ \forall n>N_2, b_n=\varepsilon_n n^\beta$.

Então, pegando $n>\max(N_1,N_2)$ temos $a_n \cdot b_n= \frac{a_n \varepsilon_n}{n^\alpha} \cdot n^{\alpha+\beta} = \phi_n n^{\alpha+\beta}$. Precisamos provar que$\phi_n \to 0$: $|\phi_n| = |\frac{a_n \varepsilon_n}{n^\alpha}| \leqslant C |\varepsilon_n|\to 0$.

Espero que você consiga terminar em segundo usando acima.