Buraco de pombo pelo menos
Em uma equipe, existem jogadores entre $18$ até $25$anos. Quantas devem ser no mínimo para participar de uma excursão, para que se tenha a certeza de que serão pelo menos 10 pessoas da mesma idade e mesmo sexo ?
O que eu fiz assim tento resolver. Eu acredito que estou errado; se você puder me ajudar ... eu levo$x$ pessoas fora de $10$ então isso vai me dar $9$. E$9$ é o pior caso então $$\left\lceil \frac x{10} \right\rceil = \lceil9\rceil \implies \lceil x \rceil = \lceil 9\cdot10 \rceil = \lceil 90 \rceil.$$Eu sinto que estou errado. Pode me ajudar?
Respostas
Seus buracos são elementos da forma (idade, sexo). Existem (25 - 18 + 1) * 2 = 16 configurações possíveis. Agora usamos uma versão forte do princípio do pombo:
Sejam q1, q2, ..., qn inteiros positivos. E se
$ q_{1}+q_{2}+\cdots +q_{n}- n+1$ objetos são distribuídos em n caixas, então a primeira caixa contém pelo menos $q_1$ objetos, ou a segunda caixa contém pelo menos $q_2$ objetos, ..., ou a enésima caixa contém pelo menos $q_n$ objetos
por este teorema você pode verificar que distribuir 145 objetos em 16 buracos pode dar a você pelo menos um buraco com 10 objetos. Se você distribuir menos de 145, existe uma configuração onde nenhum buraco tem 10 objetos, ou seja. para 144, cada buraco pode ter 9 objetos.