Cálculo Integral, Infinitesimal

Sep 05 2020

Integrar $y=f(x)$ de $a$ para $b$ nós quebramos a função em pequenos retângulos de largura $dx$. Então o$n$-º retângulo estará a uma distância de $n\,dx$ de $a$ no $x$-eixo. Deixe estar$t$ retângulos entre $a$ e $b$. Portanto$b=a+t\,dx$. Mas$t\,dx$ será muito pequeno para qualquer número inteiro positivo $t$devido às propriedades dos Infinitesimais. Então, como isso vai chegar$b$? Eu tenho algum equívoco sobre cálculo e infinitesimais?

Respostas

11 Joe Sep 05 2020 at 13:42

Em seu livro Infinite Powers , Steven Strogatz menciona exatamente esse problema que você está descrevendo. Ele considera a diferença entre 'infinito completo' e 'infinito potencial'. Abordarei seu problema específico em breve, mas primeiro descreverei um problema semelhante que ajuda a identificar o que está acontecendo.

Como você sabe, a divisão por zero não é permitida em matemática. No entanto, muitas pessoas compartilham a falsa crença de que$$ 1/0 = \infty $$Por que é isso? Um matemático treinado pode insultar a afirmação acima, mas na verdade, é muito plausível; errado , mas plausível. Dê uma olhada neste:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Como $x$ aproximações $0$, $1/x$ se aproxima do infinito. Portanto,$1/0=\infty$. Mas espere, não foi isso que mostramos. O que mostramos é que como$x$ fica cada vez mais perto de $0$, $1/x$fica cada vez maior. Há uma distinção crucial entre essas duas afirmações que muitas vezes é omitida em cursos introdutórios de cálculo. Assim que chegar ao caso$1/0$, surgem todos os tipos de paradoxos, e por isso é com razão que $1/0$é indefinido . No entanto, considerando o que$1/0$pode ou não ser, não é um exercício totalmente infrutífero. Ao contrário, pode nos revelar uma das ferramentas mais importantes do cálculo: o limite. Vamos dar uma olhada no gráfico de$y=1/x$:

Como você pode ver,$1/x$ dispara para longe enquanto $x$ fica cada vez mais perto de $0$. Não podemos dizer o que$1/0$ é ; o que podemos dizer é que$x$ fica cada vez mais perto de $0$, $1/x$fica cada vez maior. Isso é formalmente escrito como$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ Mas espere, isso também não está certo! $1/x$ só se aproxima do infinito * quando $x$ aproximações $0$do lado positivo. E se$x$ é um número negativo que está cada vez mais perto de $0$? Então,$1/x$ aproximações $-$infinidade. Talvez pudéssemos escrever isso$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$mas os matemáticos gostam que os limites tenham um valor único e definido. Portanto, ambas as afirmações acima estão incorretas, e o que devemos escrever é o seguinte:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (O pequeno '$+$'ao lado do $0$ indica que estamos considerando o caso em que $x$ é um número positivo que está se aproximando $0$. Da mesma forma, o '$-$' significa $x$ é um número negativo que está se aproximando $0$.)

Não se preocupe se todos os pequenos detalhes não fizerem sentido para você. Apenas tente se lembrar destes dois fatos importantes:

No cálculo, os matemáticos trabalham com limites .
Ao tentar calcular limites como $1/x$ Como $x$ aproximações $0$, o fato de que $1/0$é indefinido não está aqui nem lá. Não estamos tentando descobrir o que acontece quando 'chegamos a zero'. Em vez disso, estamos olhando o que acontece à medida que nos aproximamos cada vez mais de$0$, tanto na direção positiva quanto negativa. **

Agora vamos comparar o que aprendemos sobre limites com o que pensamos saber sobre infinitesimais. O maior problema com o conceito de infinitesimal em minha mente é que eles sugerem que existe um 'menor número possível'. Na verdade, quando estamos trabalhando com os números reais padrão, não existe tal coisa. Isso deve ser intuitivamente óbvio: por mais baixo que você vá, você sempre pode descer. Você também pode simpatizar com a ideia de que$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Novamente, isso é problemático, até porque trata o infinito como se fosse um número. Portanto, devemos ser extremamente cautelosos quando alguém menciona as palavras 'infinitesimal' ou 'infinitamente pequeno'. Freqüentemente, quando o fazem, eles estão usando esses termos como uma mera abreviação dos limites com os quais trabalhamos anteriormente. Por exemplo, se eu escrever 'como$x$ torna-se infinitamente pequeno, $1/x$torna-se infinitamente grande ', então isso seria um tanto descuidado, mas também seria geralmente compreendido por aqueles bem versados nos fundamentos do cálculo. (Eu alertaria contra o uso dessa linguagem, no entanto.)

Outras vezes, quando as pessoas mencionam infinitesimais, estão falando sobre análises não padronizadas, nas quais a ideia de um infinitesimal é formalizada. Mas não vamos nos desviar. No que me diz respeito, 'infinitesimais' não existem. Esta deve ser a sua opinião também. Embora os infinitesimais possam ser intuitivamente atraentes, devemos sempre confirmar se nossas intuições estão alinhadas com a realidade. Caso contrário, estamos procurando problemas.

Finalmente, chegamos à sua pergunta. Se bem entendi, você está perguntando sobre$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Como você já observou corretamente, as integrais são baseadas na divisão de uma curva em muitos retângulos pequenos, cada um com uma certa largura. Vamos chamar isso de largura$\Delta x$. Podemos aproximar a área sob o gráfico como$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Não se desespere se a expressão acima lhe parecer estranha. Tudo isso significa que cada retângulo tem uma largura fixa$\Delta x$. O comprimento de cada retângulo depende da altura da curva em cada ponto - daí porque o comprimento é$f(x)$, Onde $x$ é uma variável que vai de $a$ para $b$. E, claro, a aproximação vem da soma das áreas dos retângulos. Para visualizar isso, aqui está uma animação retirada da Wikipedia:

Como a animação sugere, as aproximações tornam-se melhores à medida que$\Delta x$ aproximações $0$. Aqui é onde$dx$Você pode imaginar que, se os retângulos têm uma largura infinitamente pequena, eles obtêm a área exatamente correta. Historicamente,$dx$ foi de fato usado desta forma para representar uma mudança infinitesimal em $x$. No entanto, os padrões modernos de rigor tornaram esta interpretação de$dx$amplamente obsoleto. Por causa de todos os paradoxos que podem criar, é melhor evitar os infinitesimais na matemática formal, pelo menos dentro do contexto do cálculo "padrão". Em vez de,$dx$deve ser visto como parte de uma abreviação para uma expressão de limite. Por exemplo, se$y=f(x)$, então $dy/dx$ é uma abreviatura para $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$Neste caso de integrais, podemos imaginar que$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ representa a soma de muitos retângulos infinitamente pequenos de largura $dx$. Mas só de escrever isso me faz estremecer. O fato de o número de retângulos ficar cada vez maior não significa que existam infinitos retângulos (daí a diferença entre 'infinito potencial' e 'infinito real'). E a julgar pelos sentimentos que você expressou em sua pergunta, infinitesimais podem não ser a abordagem certa para você também. Você está absolutamente certo sobre o aparente paradoxo criado se interpretarmos a largura de cada retângulo como verdadeiramente "infinitesimal". A definição formal de uma integral contorna este problema inteiramente ao definir$\int_a^b f(x) \, dx$como o limite da soma das áreas dos retângulos como$\Delta x$ aproximações $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Parece ter surgido um padrão. Cada vez que você se pegar pensando em infinitesimais, pense em limites! Você não precisa jogar sua intuição pela janela - se você acha que os infinitesimais são úteis para construir sua imagem mental do cálculo, então não seria sensato você acabar com eles. Igualmente, nunca se esqueça do que realmente está acontecendo.

* Cuidado com a frase 'aproxima-se do infinito'. Isso tem um significado muito diferente de 'abordagem$5$', diga. Se eu disser$x$ está se aproximando do infinito, então tudo o que quero dizer é que $x$está ficando cada vez maior. É isso aí.

** Neste caso particular, o limite 'não existe', pois obtemos duas respostas diferentes: $+\infty$ e $-\infty$, dependendo se nos aproximamos $0$de 'acima' ou 'abaixo'. Portanto, temos que nos restringir a considerar o caso em que$x$ aproximações $0$ apenas do lado positivo, ou apenas do lado negativo.