Como calcular $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ a partir de $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ e $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?

Question

Estou olhando para o exemplo 4.10 (do capítulo X) do livro de Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves" 2ª edição, que é sobre Descent via two-isogeny (proposição 4.9). O exemplo é sobre computação$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ para a curva $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ A curva que é $2$-isógeno a $E$ é $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

Temos a isogenia usual $\phi: E \to E'$ e isogenia dupla $\hat \phi : E' \to E$ com $\hat \phi \circ \phi = 2$ (as fórmulas exatas são definidas na proposição 4.9).

Ele calcula isso $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ e $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

Eu gostaria de calcular o $2$-Selmer group $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$, e pelo que entendi, preciso combinar as duas informações acima de alguma forma (semelhante a como você pode combinar $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ e $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ para obter $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Alguém poderia explicar como posso fazer isso?

PS: Eu me sinto muito sobrecarregado com este livro em geral, então se eu entendi tudo errado, por favor me avise.

Answer 1

Em seu exemplo, a informação relevante de que você precisa é a observação X.4.7 e o fato de que $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ uma vez que os grupos relevantes de Tate-Shafarevich são triviais, a identificação via "o $x$-coordenar "(exceto para os dois pontos de torção $(0,0)$)

Portanto, temos a observação X.4.7 dizendo que $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ é exato, o segundo morfismo sendo $\phi$.

Agora, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ e o mapa $\phi$ envia $(0,0)$ para $0$ (o ponto no infinito) (é claro que é geral, uma vez que $\phi$ é o envio de 2-isogenia $(0,0)$ para $0$), e envia $(8,-32)$ para um elemento $\phi(8,-32)$, não $2$-torsão (que deixei para você calcular).

assim $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Agora você pode usar a descrição que desejar dos elementos de $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.

Editar : no caso geral, existe uma sequência natural exata$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ mas não tenho certeza sobre o que colocar no lado esquerdo.

Uma maneira possível de entender essa sequência é observar que $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ é o grupo de coberturas Galois não ramificadas de $E$ com o grupo Galois "$E[2]$"(e com pontos localmente em todos os lugares), e a 2-isogenia vem de um $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: o mapa $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ corresponde ao mapa "fixado pelo $\mathbb Z/2\mathbb Z$", como na usual teoria de campos de Galois.

O mapa $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ corresponde a ver cada cobertura não ramificada de Galois $\psi:D\to E'$ do $E'$ com o grupo Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ para uma cobertura Galois de $E$ através da $\phi$, ie $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.