Como derivar a solução “bem conhecida” para Unconstrained Array Gain?

Question

Alguém pode me indicar uma página da web ou outro recurso que mostre como resolver analiticamente a expressão Unconstrained Array Gain do formador de feixe no artigo IEEE de Henry Cox de 1987 "Robust Adaptive Beamforming"?

$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$

Cox diz:

A solução bem conhecida é $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$

Eu gostaria de entender melhor isso aprendendo como derivar isso sozinho.

Answer 1

Você pode resolver esse problema usando o método dos multiplicadores de Lagrange . Primeiramente, observe que maximizar a expressão em sua pergunta é equivalente a minimizar a função inversa:

$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$

Em seguida, observe que a solução de $(1)$ é invariante ao escalonamento de $\mathbf{w}$, ou seja, substituindo $\mathbf{w}$ de $c\cdot\mathbf{w}$ dentro $(1)$ com uma constante escalar arbitrária $c$não mudará o valor da função. Portanto, podemos também usar uma escala de modo que$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$é satisfeito. Esta escala corresponde a uma resposta unitária para o sinal desejado. Com esta restrição, o problema$(1)$ pode ser reformulado como

$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$

Podemos resolver $(2)$ usando o método dos multiplicadores de Lagrange, minimizando

$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$

Tirando formalmente a derivada de $(3)$ em relação a $\mathbf{w}^H$ e defini-lo para zero dá

$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$

A restrição em $(2)$ está satisfeito por

$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$

A partir de $(4)$ e $(5)$ nós finalmente obtemos

$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$

Observe que a escala em $(6)$ é opcional e a solução geral é dada por $(4)$.

Answer 2

Primeiro, um esboço da solução para o problema do transformador de feixe máximo SINR $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Comece escrevendo um funcional $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$a ser minimizado e um conjunto de restrições . De fato, os vetores de peso w e w ^H são considerados os dois conjuntos independentes de variáveis ​​ao tomar as derivadas com relação a essas variáveis; portanto, a energia do sinal de saída, normalmente escrita como um módulo quadrado do coproduto de sinais de pesos, deve ser escrita como uma função analítica, sem calcular a norma que obtém a raiz quadrada:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ O conjunto resultante de restrições lineares é $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ e temos que escrever um Lagrangiano com dois multiplicadores de Lagrange, λ e μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Tomando as duas derivadas da Lagrangiana - a primeira, em relação a w , e a segunda, em relação a w ^H - obtemos as expressões para λ e μ , e, substituindo-as pelas expressões de restrição, finalmente chegamos ao fórmula para pesos:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$Para minha surpresa, pesquisando em uma web por "uma página da web ou outro recurso que mostra como resolver analiticamente o formador de feixe" de acordo com a solicitação do OP, pude encontrar apenas versões limitadas e imperfeitas da derivação desta fórmula, um documento típico sendo as notas do curso Formador de feixe ideal , uma introdução detalhada e útil sobre o assunto em todos os outros aspectos. Suspeito até que o OP postou a questão com o propósito de divulgar essa omissão do recurso de aprendizagem (desculpem minha tentativa desajeitada de brincar).

Por enquanto, só posso recomendar o material de aprendizagem sobre programação quadrática de restrição linear geral para alunos interessados ​​na formação de feixe ideal. Por exemplo, refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf e https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. Apenas formas quadráticas com valor real são consideradas nesses documentos, mas os resultados principais podem ser generalizados para o domínio complexo.