Como devo proceder para este problema de probabilidade?

Question

A questão é - Em um vestibular com questões de múltipla escolha, com cada questão tendo quatro opções e uma única resposta correta, suponha que apenas 20% dos candidatos acham que sabem a resposta para uma questão difícil e apenas metade deles sabe corretamente e a a outra metade errou. Os candidatos restantes escolhem uma das quatro opções aleatoriamente e marcam a mesma. Se um candidato respondeu corretamente à pergunta, qual é a probabilidade (condicional) de que ele soubesse a resposta?

Editar: Deixe $K$ ser o evento em que um candidato sabe a resposta (correta ou não), e $R$ é o evento em que um candidato responde à pergunta aleatoriamente.

Então, $P(K) = 0.2$, $P(R) = 0.8$.

Deixar $C$ ser o evento em que um candidato responde corretamente à pergunta.

Queremos encontrar $P(K|C)$.

Pelo Teorema de Bayes, $P(K|C) = \frac{P(K).P(C|K)}{P(K).P(C|K) + P(R).P(C|R)}$

Nós temos $P(C|K) = 0.1$ e $P(C|R) = 0.25$.

Ao substituir, $P(K|C) = \frac{1}{11}$ Isso está correto?

Edit # 2: Isso está errado. Meu erro foi interpretar o fato de que metade dos 20% dos candidatos sabendo a resposta corretamente significava que 10% de todos os candidatos sabiam corretamente. Em vez disso, significa que a probabilidade de qualquer um desses 20% candidatos saber a resposta é 0,5. Então$P(C|K) = 0.5$ e não $0.1$

Answer 1

Deixar $C$ seja o caso de responder corretamente à pergunta, $K$ seja o evento de saber a resposta, e $NK$ seja o caso de não saber a resposta.

Nós precisamos $P(K|C)$, isso pode acontecer de duas maneiras: ela sabia a resposta ou não. Agora, a resposta pode ser conhecida de duas maneiras, correta ou incorretamente. (Aqui, ela sabia a resposta significa que ela pensava que sabia a resposta)

Pelo Teorema de Bayes: $$P(K|C)=\dfrac{P(K)\cdot P(C|K)}{P(C)}$$

Também $P(C)=P(K).P(C|K)+P(NK).P(C|NK)$ $$P(C)=(0.2)(0.5)+(0.8)(0.25)=0.3$$ porque se ela soubesse a resposta, então ela sabia que era correta ou incorreta, a probabilidade de ambas serem $0.5$, ao passo que se ela adivinhasse, então ela tinha um $0.25$ probabilidade de responder corretamente à pergunta.

$$\therefore P(K|C)=\dfrac{0.1}{0.3}=0.33$$

Answer 2

10% dos candidatos dão a resposta errada

10% dos candidatos dão a resposta certa (eles sabiam a resposta)

80% dos candidatos dão a resposta certa com probabilidade $0.25$ (eles acertaram)

Assim, a resposta certa é dada por $0.8\times0.25+0.1$

Aplicando o teorema de Bayes, você obtém

$$\frac{0.1}{0.8\times0.25+0.1}=\frac{1}{3}$$