Como provar que um conjunto é um conjunto totalmente limitado?

Question

Deixei $(S,d)$ser um espaço métrico completo separável. Por separabilidade, para cada$n\ge 1$ existe um aberto $1/n$ sequência de bola $A_{nk}=\{x\in S: d(x,x_k)<1/n\}$ cobertura $S$, Onde $x_k\in S, k\ge 1$. $k_n$ é um número inteiro positivo dependendo de $n$. Como provar isso$B=\bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{k\le k_n}A_{nk}$ é um conjunto totalmente limitado.

Answer 1

Eu obtenho a seguinte prova, corrija-a para mim. Obrigado. Prova. Para qualquer$\varepsilon>0$ existe um inteiro positivo $n'$ de tal modo que $1/n'<\varepsilon/2$. Escrita$A_{n'_k}=B(z_k, 1/n')$, e observando que $B\subset\bigcup_{k\le k_{n'}}A_{n'_k}$, temos $B=\bigcup_{k\le k_{n'}}\left(B\bigcap A_{n'_k}\right)$. Portanto, para cada$x\in B$, existe $k_0\in \{1,2,\cdots,k_{n'}\}, x\in A_{n'_{k_0}}$. Levando$y_{k_0}\in B\bigcap A_{n'_{k_0}}$, então $$d\left(x, y_{k_0}\right)\le d\left(x, z_{k_0}\right)+d\left(y_{k_0}, z_{k_0}\right)<1/n'+1/n'<\varepsilon.$$ Então, $\tilde{B}=\{y_{k_0}, 1\le k_0\le k_{n'}\}$ é um finito $\varepsilon$-net para $B$. portanto$B$é um conjunto totalmente bouned. Isso completa a prova.