Como resolver $\cos x-\sin 3x=\cos 2x$?

Question

Minha tentativa:

$$\begin{align} (\cos x- \cos 2x) - \sin 3x &= 0 \\ 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}&=0\\ \sin\frac{3x} {2} \left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)&=0 \end{align}$$

Agora também $\sin\frac{3x} {2} = 0$ ou $\left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)=0$. Resolvendo o primeiro,$$\frac{3x}{2}=n\pi\rightarrow x = \frac{2n\pi}{3}$$

Como posso resolver $\left(\sin\frac{x} {2} - \cos\frac{3x} {2}\right)=0$? Conheço as identidades elementares que envolvem proporções trigonométricas, mas não números complexos ou cálculo.

Answer 1

Nós temos $\sin\frac12x=\cos\frac32x=\sin(\frac12\pi-\frac32x)$. A solução geral para isso é$$\tfrac12x=n\pi+(-1)^n(\tfrac12\pi-\tfrac32x)\quad (n\in\Bbb Z).$$Os casos de pares ou ímpares $n$ então dê origem a dois conjuntos de soluções:$$x=(k+\tfrac14)\pi\quad\text{or}\quad x=(2k-\tfrac12)\pi\quad(k\in\Bbb Z).$$

Answer 2

Eu acho que você pode usar o fato de que $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x)$ para traduzir a equação em uma envolvendo apenas senos (ou cossenos) em ambos os lados e, em seguida, comparar diretamente.

Answer 3

Esta é uma equação elementar $\cos a=\cos b$ sob a capa: basta considerar que $\sin a=\cos(\pi/2-a)$. Assim você consegue$$ \cos\Bigr(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\Bigr)=\cos\frac{3x}{2} $$ e você obtém as duas famílias de soluções $$ \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}+2n\pi \qquad\text{or}\qquad \frac{3x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}+2n\pi $$