Comprovando pedido parcial

Question

Em poucos dias estou fazendo um exame de Lógica Formal e Teoria dos Conjuntos e gostaria de confirmar se meu método de provar ordens parciais está correto. A tarefa:

Por$(n, m), (p, q) \in \mathbb{N}_{+}^{2}$,$$(n, m) \preceq (p, q) \Leftrightarrow (n, m) = (p, q) \vee (n < p \wedge n - m \leq p - q).$$Prove que$\preceq$é uma ordem parcial.

Aqui está a minha ideia para a prova:

1) Reflexivo

(a, b)$ \preceq $(a, b)

$(a, b) = (a, b) \vee (a < a \wedge (a - b) \leq (a - b))$

A primeira parte é verdadeira, então é reflexiva.

2) Antisimétrico

$ (a, b) \preceq (c, d) \wedge (c, d) \preceq (a, b) \Rightarrow (a, b) = (c, d) $

Minha ideia era escrever acima da condição usando as regras reais fornecidas na tarefa:

$ [(a, b) = (c, d) \vee ((a < c) \wedge (a - b) \leq (c - d))] \wedge [(c, d) = (a, b) \vee ((c < a) \wedge (c - d) \leq (a - b))] $

Se marcarmos todas as partes entre colchetes divididas com$ \vee $com as letras p, q, r, s, podemos ver que a distribuição de p e r nos dará:

$ [(a, b) = (c, d) \wedge (c, d) = (a, b))] $

E era isso que estávamos procurando. Portanto, a antisimetria é verdadeira.

3) Transitivo

$ (a, b) \preceq (c, d) \wedge (c, d) \preceq (e, f) \Rightarrow (a, b) \preceq (e, f) $

Eu usei o procedimento semelhante ao que fiz acima. Principalmente eu escrevi as condições:

$ [(a, b) = (c, d) \vee ((a < c) \wedge (a - b) \leq (c - d))] \wedge [(c, d) = (e, f) \vee ((c < e) \wedge (c - d) \leq (e - f))] $

Mais uma vez usei a notação p, q, r, s e distribuí. Novamente, a distribuição de p e r nos dá:

$ [(a, b) = (c, d) \wedge (c, d) = (e, f)] $

O que deve provar a última parte, porque essa é a condição de ordem parcial na tarefa. Essa é a maneira correta de provar ordens parciais? Ficarei muito grato pelas dicas e respostas, pois elas me ajudarão a passar no curso.

Answer 1

Eu usaria uma abordagem diferente em suas provas de anti-simetria e transitividade.
Dessa forma, você não precisa de distribuição.

Anti-simetria. O segundo ramo das definições não se aplica, pois incluiria$a<c$e$c<a$, uma contradição.
Assim, você obtém imediatamente$(a,b) = (c,d)$(por definição), que é o que deveria ser provado.

Transitividade. É uma situação parecida.
Se$(a,b) = (c,d)$, então$(a,b) \leq (e,f)$Porque$(c,d) \leq (e,f)$; o mesmo acontece se$(c,d) = (e,f)$.
Portanto, a única situação não trivial é se$$a<c<e$$e$$a-b < c-d < e-f,$$de onde decorre que$a < e$e$a-b< e-f$(acaba sendo bastante trivial também).