Condições gerais de normalidade de explosão

Question

Deixar $X$ser uma superfície complexa normal, afim, integral. Estou procurando condições para subesquemas fechados de dimensão zero$Z$ dentro $X$ de modo que o esquema reduzido associado à explosão de $X$ ao longo $Z$é mais uma vez normal. Qualquer referência será bem vinda.

Answer 1

Deixar $X=Spec(R)$. Explodindo$Z=V(I)$ é o mesmo que olhar para $Proj$ do anel graduado $R[It]=\oplus_{j\geqslant 0} I^jt^j\subset R[t]$, o anel Rees associado a $I$.

Presumir $R$ é um domínio, integralmente fechado dentro de seu campo de fração $K$. Neste caso, o fechamento integral de$R[It]$ dentro de seu campo de fração é

$$\overline{R[It]}=\oplus_{j\geqslant 0} \overline{I^j}t^j$$. Aqui se$J\subset R$ é um ideal de $R$ a notação $\overline{J}$ é o fechamento integral do ideal $J$. Este é novamente um ideal por dentro$R$.

Se $R$ é de dimensão $2$ e $I=\overline{I}$ em seguida, resultados devido a Zariski (se $R$ é um rlr) mostra que $I^j=\overline{I^j}$ para todos $j$ e portanto $R[It]$está integralmente fechado e você tem a condição que garante a normalidade. Estes resultados foram posteriormente generalizados por Michael Artin para anéis locais normais de dimensão$2$.

Devo também dizer que existem critérios combinatórios muito explícitos (em termos de polígonos de Newton) para determinar se um ideal monomial $I\subset\mathbb{C}[[x,y]]$ ou $\mathcal{O}_{\mathbb{C}^2,0}$ é fechado integralmente.

Para obter detalhes, recomendo que você dê uma olhada em "Fechamento Integral de Ideais, Anéis e Módulos", de Swanson e Huneke, capítulos 5 e 14.