Construir uma função com comportamento pré-especificado

Question

Você poderia sugerir uma função $f:\mathbb{N}^+\setminus\{1\}\rightarrow \mathbb{N}^+$ de tal modo que

1. $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=0$
2. $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$
3. $f(x)<x$ $\forall x \in \mathbb{N}^+$
4. $f(500)=340$

Onde $\mathbb{N}^+$ denota os números naturais estritamente positivos (zero excluído), $\mathbb{N}^+\setminus\{1\}$ denota $\mathbb{N}^+$ sem $1$. Veja uma questão relacionada aqui que impõe menos restrições à função desejada. Por exemplo, a resposta a essa pergunta sugere$$ f(x)=340*(\log(x^2+1)/\log(500^2+1)) $$ que não funciona aqui porque $f(x)>x$.

Answer 1

Digamos $f$ é em $\Theta(\sqrt x)$, que irá satisfazer as três primeiras condições (com a ajuda de um mínimo). Para satisfazer o quarto, adicionamos um fator de escala:$$f=\min\left(x-1,\left\lfloor\frac{340}{\sqrt{500}}\sqrt x\right\rfloor\right)$$