Continuidade de $f$ em $x=0$

Question

Você poderia me ajudar com a seguinte pergunta do cálculo de Adam?

Deixei $$ f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x=1, 1/2, 1/3, \ldots \\ x^2, & \text{otherwise.} \end{cases} $$ É contínuo em $x=0$?

De acordo com a definição de continuidade, não é contínuo em $x=1/2, 1/3, 1/4, \ldots$ Em $x=0$ é contínuo, mas não consigo entender como é contínuo em $x=0$ quando os valores de $f$ estão se aproximando $0$em duas taxas diferentes. Quer dizer, em qualquer intervalo contendo$x=0$há pontos em que a função é descontínua. É suficiente confiar na definição de continuidade?

Answer 1

Deixei $\epsilon>0$ser arbitrário. Pela propriedade arquimediana existe um$n\in\mathbb N$ de tal modo que $\epsilon>1/n$. Deixei$\delta=1/n$.

Agora deixe $|x|<\delta$ser arbitrário. E se$x=1/m$ para alguns $m\in\mathbb N$, então $|f(x)-f(0)|=1/m<1/n<\epsilon$.

De outra forma, $|f(x)-f(0)|=x^2\le |x|<\delta=1/n<\epsilon$.

Portanto, $f$ é contínuo em $x=0$.

Answer 2

É suficiente notar que para $|x|<1$, Você tem $$ |f(x)-0| \leq x \to 0, \quad x\to 0 $$ Isso implica que $\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)$, e portanto $f$ é contínuo em $x=0$.

Answer 3

Não há “taxa” de aproximação. Nada se aproxima de lugar nenhum.

A função é contínua em $a$ se, para cada $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que, para $|x-a|<\delta$, segura $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

No seu caso, $|f(x)|<\varepsilon$ é a desigualdade a provar.

Nós precisamos disso $1/n<\delta$ implica $1/n<\varepsilon$, então uma primeira tentativa é escolher $\delta=\varepsilon$. No entanto, também precisamos disso$|x|<\delta$ implica $|x^2|<\varepsilon$ para pontos fora da forma $1/n$. Ok vamos escolher$$ \delta=\min(\varepsilon,1) $$ Agora se $1/n<\delta$, então $1/n=|f(1/n)|<\varepsilon$. Para os outros pontos,$$ |f(x)|=|x^2|<|x|<\delta\le\varepsilon $$ e terminamos.