Converse do teorema de Schreier

Question

Eu sei que todo subgrupo de um grupo livre é livre (teorema de Schreier).

Estou me perguntando se um inverso (não trivial) é verdadeiro, isto é, se cada subgrupo adequado de um grupo infinito$G$ é grátis então $G$ é grátis.

Acho que é falso, mas não consigo encontrar contra-exemplos.

(Espero que algum produto semi-direto adequado da classificação do grupo livre $n$ ($n \geq 2$) e $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ é um contra-exemplo, mas ainda não consigo encontrar.)

Quaisquer comentários serão muito apreciados.

Answer 1

Como @YCor diz nos comentários, há um exemplo gerado finitamente devido a Ol'shanskii, que é essencialmente um tipo de monstro Tarski. No entanto, a construção de Ol'shanskii é muito complicada. Para classes de grupos "mais legais", sua pergunta permanece importante e aberta. Como acontece com a maioria dos outros tipos de monstros Tarski, acredito que a resposta à seguinte pergunta permanece desconhecida (embora a resposta seja certamente "sim").

Existe um grupo não-livre finitamente apresentado para o qual cada subgrupo adequado é gratuito?

Na verdade, a questão permanece aberta mesmo em classes de grupos muito legais.

Existe um grupo não livre de palavras hiperbólicas em que cada subgrupo adequado é livre?

Um exemplo seria uma grande notícia, pois resolveria nas DUAS famosas questões abertas negativas, a saber:

Todo grupo de palavras hiperbólicas é residualmente finito?

e

Todo grupo hiperbólico não virtualmente livre tem um subgrupo de superfície?

Já que duas grandes questões de uma vez parece muito a se esperar, prefiro me especializar no caso de subgrupos de índice infinito.

Existe um grupo não livre, não superficial, infinito, hiperbólico de palavras, no qual todo subgrupo adequado e finitamente gerado de índice infinito é livre?

Para esta última questão, existem exemplos fora do mundo dos grupos hiperbólicos. Os grupos Baumslag – Solitar solucionáveis

$BS(1,n)=\mathbb{Z}[1/n]\rtimes_n\mathbb{Z}$

tem a propriedade de que todo subgrupo não trivial finitamente gerado de índice infinito é cíclico infinito.