Curva em uma esfera

Question

Deixei $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ser uma curva regular. Se existe um ponto$P\in\mathbb{R}^3$ de modo que a linha que passa $P$ e $\alpha(t)$ é perpendicular à linha tangente em $\alpha$ no instante $t$ para qualquer $t$, então o traço de $\alpha$ está contido em uma esfera.

Como $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ e $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, então

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ para alguns $c\geq0$.

Está correto? Como eu poderia resolver sem integrar?

Answer 1

Você nem precisa saber o conceito de integração! Basta usar o fato de que$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$para cada $t$, do qual segue-se que $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ é constante.