Derivada da função multivariada: regra da cadeia e regra do produto

Question

Como faço para calcular o seguinte gradiente? $$ \nabla_{\phi} \,\,\,T(y, x(\phi, y), \phi) $$Devo usar a regra do produto ou a regra da cadeia? É o seguinte?

$$ \frac{\partial}{\partial x}T(y, x, \phi) \frac{\partial x(\phi, y)}{\partial \phi} + \frac{\partial}{\partial \phi} T(y, x(\phi, y), \phi) $$

Answer 1

Minha interpretação principal seria que $\nabla_{\phi}$ refere-se à derivada parcial em relação ao terceiro argumento, portanto $$\nabla_{\phi} \; T(y,x,\phi) = \frac{\partial}{\partial \phi} T(y,x,\phi),$$que é o segundo termo em sua resposta. Isso é,$\nabla_{\phi}$ refere-se à derivada parcial de $T(y,x,\phi)$ com respeito ao argumento $\phi$, não a derivada total da variável$\phi$.

No entanto, se você deixar $H(\phi, y) := T(y, x(\phi, y), \phi)$, então

$$\nabla_{\phi} \,\,\,H(\phi, y) = \frac{d}{d\phi} T(y,x,\phi) = \frac{d}{d\phi} T(y,x(\phi, y),\phi) = \frac{\partial T(y,x,\phi)}{\partial \phi} + \frac{\partial T(y,x,\phi)}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \phi},$$que é o que você escreveu. Ou seja, a derivada total em relação a$\phi$.

Eu diria que não está claro a que a notação se refere, embora eu ache que se refere ao método anterior. Pela minha experiência, quando a notação é$\nabla_{\boldsymbol v} \; T(y,x,\phi)$, com subscrito em negrito, $\boldsymbol v$refere-se a um vetor e a expressão refere-se à derivada direcional .