Derivada de Integral com Limites

Question

Eu tenho o seguinte problema:

Deixei $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. Encontrar$(f^{-1})'(0)$.

Eu sei que se $g' = f^{-1}(x)$ este $g'(f(x))f'(x) = 1$. Obviamente quando$x$ é $3$, $f(x)$ é $0$. Então eu descobri isso:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Minha pergunta é: desde $f(x)$ era originalmente uma integral avaliada a partir de $3$ para $x$, não deveria $x$ estar $3$através da equação, tornando inútil a tentativa de derivar dela? Isso resultaria na solução sendo "não definida", uma vez que você não pode dividir$(1)$por zero? Ou a derivada anula efetivamente os limites?

Answer 1

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo , você tem$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

Alternativamente, lembre-se disso $x=f(f^{-1}(x))$, diferenciando os dois lados da equação e usando a regra da cadeia, temos $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

assim $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

então desde $f(3)=0$ temos $f^{-1}(0)=3$ (como você mencionou) e assim

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Toda a minha resposta aqui será baseada no fato de que você assumiu $x \geq 3$. Se me engano, a sua dúvida deveria estar relacionada com o sentido dos limites da integração.

Eu quero que você lembre o princípio fundamental dos derivados.

O primeiro princípio de diferenciação.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Aqui obtemos o valor da derivada executando $h$ na vizinhança positiva e negativa de $0$.
Conseqüentemente, obtendo uma mudança infinitesimal em$f(x)$ na vizinhança de $x$ sobre a mudança infinitesimal em $x$.

Mas quando qualquer uma das vizinhanças não está presente no domínio próximo $x$ nós apenas em uma direção, ao invés.

Por exemplo $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ etc ...

Você começa a imagem, eu acho. Agora você questionaria o sentido dessa derivada. É quando qual será a inclinação (taxa de variação) da curva / função quando ela irá na única direção permitida.

Da mesma forma, aqui a função em questão possui tal propriedade.

Uma solução mais precisa para tais derivados pelo primeiro princípio pode ser dada como: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Para esta função particular, o significado da derivada em $x=3$ deverá ser: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

A equação acima diz que $x$ só vai variar na vizinhança positiva de $3$.