Derivadas parciais de uma função complexa?

Question

Na álgebra real, se eu tiver uma função diferenciável $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, diga $f(x,y)=[u,v]$, Posso calcular quatro derivadas parciais diferentes $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$. Se eu interpretar$x$ e $y$como coordenadas espaciais, eu poderia - por exemplo - criar dois gráficos de quiver separados : um ilustrando as derivadas parciais de$u$ e um ilustrando as derivadas parciais de $v$.

Na álgebra complexa, parece que devemos encontrar um comportamento semelhante: suponha que eu $z=x+iy$ e $w=u+iv$, e que minha função $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ é (digamos) uma transformação Mobius

$$M(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$

cuja derivada é:

$$\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial M(z)}{\partial z}=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}$$

Agora, aqui está minha pergunta: a derivada que obtenho será um único número complexo. É possível extrair as derivadas parciais$\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$? Se sim, como eu faria isso?

Answer 1

Sim, isso é possível. Em geral temos

$$\frac{\mathrm df}{\mathrm dz}=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial v}{\partial x},$$

e as equações de Cauchy-Riemann dizem que, além disso,

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Juntos, isso nos permite extrair todas as derivadas parciais de $\frac{\mathrm df}{\mathrm dz}$ se conhecermos suas partes reais e imaginárias.

Em esta pergunta você pode encontrar algumas idéias sobre como obter estas equações da definição de diferenciabilidade real e complexa.