Derivando o PDF de $\chi_k^2$
Deixei $\{X_i\}_{i=1}^{k}$ ser uma sequência de variáveis aleatórias independentes de modo que $X_i\sim N(0,1)$, então, a variável aleatória $\sum_{i=1}^kX_i^2\sim\chi_k^2$. É fácil mostrar que o PDF de$\chi_1^2$é \ begin {equation} f (x): = \ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ exp (- \ frac {x} {2}) x ^ {- \ frac { 1} {2}} 1 _ {[0, \ infty)} \ text {. } \ end {equation} Sabe-se que se$X$ e $Y$ são absolutamente contínuos e independentes com PDFs $f$ e $g$ respectivamente, então $X+Y$ é absolutamente contínuo com PDF $h(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy$, além disso, se $\{Y_i\}_{i=1}^k$ são absolutamente contínuos e independentes, então $\sum_{i=1}^kY_i$é absolutamente contínuo com PDF \ begin {equation} h (x_1) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ cdots \ int _ {\ mathbb {R}} f_1 (x_1- \ sum_ {i = 2} ^ kx_i) \ prod_ {i = 2} ^ {k} f_i (x_i) dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} onde$f_i$ é o PDF de $Y_i$. Aplicando isso a$Y_i:=X_i^2$e simplificando, temos que \ begin {equation} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac { x_1} {2} \ right) \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 3} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i} ((x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i) -x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} realizando a integral mais interna, temos que é igual$\pi$, então \ begin {equation} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} { 2} \ right) \ pi \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 4} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ \ infty x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} mas agora, a integral mais interna diverge, então, obviamente, algo está errado aqui. Você poderia me ajudar a identificar o erro?
Editar
A questão principal já está resolvida (obrigado!) , Agora, só por diversão, se definirmos$a_i=x_1-\sum_{j=i}^kx_j$, então, é claro que $a_i=a_{i+1}-x_{i+1}$, então o problema agora é calcular \ begin {equation} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} {2} \ right) \ pi \ int_ {0} ^ {a_k} x_k ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdots \ int_ {0} ^ {a_4} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {a_3} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3dx_4 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {equation} calculando os primeiros integrais mais internos tentar encontrar um padrão nos mostra o seguinte: \ begin {gather} \ int_ {0} ^ {a_2} (a_2-x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ pi a_2 ^ 0 \\ \ int_ {0} ^ {a_3} (a_3-x_3) ^ {0} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = 2a_3 ^ {\ frac {1} {2}} \\ \ int_ {0} ^ {a_4} (a_4-x_4) ^ {\ frac {1} {2}} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ frac {\ pi} {2} a_4 ^ 1 \ text {,} \\ \ end {reunir} o padrão parece claro para o$a$de, mas não tanto para o $\pi$'se o não-$\pi$coeficientes. Segue assim$\frac{4}{3}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{16}{15}$, $\frac{5\pi}{16}$, $\frac{32}{35}$, $\frac{35\pi}{128}$, $\frac{256}{315}$, $\frac{63\pi}{256}$, ... e é meio estranho !! Parece muito difícil encontrar um padrão aqui com o objetivo de finalmente derivar por indução o PDF de$\chi_k^2$ (Eu sei que as funções características são o caminho a percorrer, mas ainda quero me divertir!)
Respostas
O integral mais externo deve ter limite superior $x$, não $\infty$. Por exemplo, o$\chi_2^2$ caso se reduz a$$\int_0^x\frac{1}{2\pi\sqrt{y(x-y)}}\exp\frac{-x}{2}dy\stackrel{y=x\sin^2t}{=}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\pi}\exp\frac{-x}{2}dt=\frac12\exp\frac{-x}{2}.$$
Aqui está uma abordagem alternativa: já que o $\chi_1^2$ distribuição tem função característica $(1-2it)^{-1/2}$, a $\chi_k^2$ caso tem cf $(1-2it)^{-k/2}$. Apenas um PDF pode ter este cf; por inspeção, é$\frac{2^{-k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp\frac{-x}{2}$ em $[0,\,\infty)$.
Depois de provar que qualquer $X_i^2\sim \chi_{(1)}^2$ pelo fato de que $X_i$ independente de $X_j$ implica também $X_i^2$ é independente de $X_j^2$ seu pdf pode ser derivado imediatamente usando MGF e suas propriedades