Determinar se uma função é sobrejetora?

Question

Então digamos que você tenha a função ${f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$, e deseja determinar se $f(m, n)=2m-n$ é uma função sobrejetiva.

Encontrei este vídeo online, o que ele prova. A parte que não entendo é por que a prova funciona. No vídeo, ele consegue$f(0, -y) = 2(0)-(-y)=y$, mas não entendo como isso prova ${f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$.

Mesmo com a função $f(m, n)=m^2-n^2$, Encontrei esta resposta online, mas parece que$f(m, n)=m^2-n^2$não é uma função sobrejetiva. Mas a função não precisa apenas produzir um número inteiro? Por que não pode algo como$m=2$ e $n=4$ trabalhos?

Answer 1

Para $f(m,n)=2m-n$, o objetivo é encontrar para cada $y\in\mathbb{Z}$, $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ de tal modo que $f(m,n)=y$, mas como mencionado $f(0,-y)=y$ e assim $(m,n)=(0,-y)$ funciona, portanto temos: $\forall y\in\mathbb{Z},\exists (m,n)\in\mathbb{Z}^2,y=f(m,n)$. Quanto a$f(m,n)=m^2-n^2$, Não entendo o que você quer dizer com "a função não precisa apenas produzir um número inteiro? Por que algo como m = 2 e n = 4 não funciona?". A questão é "faz$f(m,n)$ leva todos os valores possíveis em $\mathbb{Z}$ ? ", a resposta é não porque $f(m,n)\neq 2$ para todos $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$como provado na resposta. Claro que não é suficiente dizer que$f(m,n)\in\mathbb{Z}$ para todos $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$, levar $n\in\mathbb{Z}\mapsto\mapsto |n|\in\mathbb{Z}$ que claramente não é sobrejetora.

Answer 2

1. Porque tomando $\forall y \in \mathbb{Z}$ existe par $f(0,-y)=y$.