dimensão de um módulo e módulos simples

Question

Estou tentando compreender esses novos conceitos. Suponha que eu tenha um cenário onde$V$ é um módulo gratuito e também $V$ é um módulo de dimensão finita, se V for simples, deve $V$ ser dimensão $1$?

Def:

Um módulo é considerado simples se qualquer submódulo desse módulo for $\{0\}$ ou a si mesmo.

Meu pensamento é que se tivermos um $A$-módulo $V$ que por acaso também tem dimensão finita, diga $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, com os escalares vêm de $A$, então certamente se tomarmos qualquer subconjunto adequado de tais vetores de base, sua extensão seria um submódulo adequado de $V$? Conseqüentemente$V$ é simples apenas se $n=1$? (é claro que o inverso não é verdade, se$n=1$ então não seria necessariamente simples)

Eu sinto que há algo errado com meu argumento, devo ter confundido algo de módulos com Álgebra Linear.

Answer 1

E se $V$ é simples, deve $𝑉$ ser dimensão 1?

Não. A simplicidade de um módulo de álgebra sobre um campo não diz muito sobre sua dimensão.

Considere o anel de matriz $R=M_2(F)$ para um campo $F$.

Então $F\times F$, visto como um direito $R$ módulo usando multiplicação de matrizes, é um módulo simples que é $2$ dimensional sobre $F$.

Outro exemplo com a mesma ideia: vamos $V$ ser um espaço vetorial de dimensão infinita, e $E$seja seu anel de transformações lineares. Então$V$ é na verdade um simples $E$ módulo, e ainda $V$ tem infinito $F$ dimensão.

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Tudo isso pressupõe que você quis dizer "dimensão" da maneira como é mais comumente usada: como uma invariante de um espaço vetorial. Se de fato você quis dizer algum outro tipo de dimensão, terá que especificar. Existem vários dos quais você poderia estar falando. Por exemplo, se por dimensão você quis dizer "comprimento de composição", então sim , um módulo simples tem comprimento de composição$1$.