Dimensão do produto tensor espacial de Hilbert

Question

Deixei $H_1, H_2$ ser espaços de Hilbert e considerar seu produto tensor de espaço de Hilbert $$H_1 \hat{\otimes} H_2$$ que é a conclusão do produto tensorial algébrico $H_1 \otimes H_2$ com relação ao produto interno exclusivo em $H_1 \otimes H_2$ satisfatório $$\langle x \otimes y, x' \otimes y'\rangle = \langle x , x' \rangle \langle y, y'\rangle$$

E se $E_1$ é uma base ortonormal para $H_1$ e $E_2$ é uma base ortonormal para $H_2$, Eu provei que $$E_1 \otimes E_2:= \{x \otimes y: x \in E_1, y\in E_2\}$$ é uma base ortonormal para $H_1 \hat{\otimes} H_2$. A partir disso, quero deduzir que$$\dim(H_1 \hat{\otimes} H_2 ) = \dim (H_1) \dim (H_2)$$(produto de números cardinais). Vejo que é suficiente verificar se o mapa$$E_1 \times E_2 \to E_1 \otimes E_2: (x,y) \mapsto x \otimes y$$ é injetivo, mas não consigo ver por que isso se mantém: $$x \otimes y = x' \otimes y' \implies x= x', y = y'$$ não deve ser verdadeiro para tensores puros gerais, mas talvez porque temos a ortogonalidade, podemos dizer algo mais?

Answer 1

Dica: se $X,Y$ são espaços vetoriais e $\{x_1,\dots,x_n\}\subset X$ é linearmente independente, então $\sum_{i=1}^nx_i\otimes y_i=0$ implica que $y_i=0$ para todos $i$.

No seu caso: suponha que $x\neq x'$ ou $y\neq y'$. WLOG suponha que$x\neq x'$. E se$x\otimes y=x'\otimes y'$, então $x\otimes y + x'\otimes(-y')=0$. Desde a$\{x,x'\}$ são linearmente independentes, isso produz $y=-y'=0$, então $y=y'=0$, uma contradição, pois $y,y'$ são vetores unitários.

Answer 2

Presumir $(x,y)\ne (x',y')$ e considere um mapa bilinear $f:H_1\times H_2\to\Bbb C$ definido nas bases como $$f(e_1,e_2)=\left\{\matrix{1&\text{ if }e_1=x\text{ and }e_2= y\\ 0&\text{ otherwise.}}\right.$$ Isso influencia $H_1\otimes H_2$ assim distinguindo $x\otimes y$ e $x'\otimes y'$.

Answer 3

A maneira como você deve abordar isso depende, em última análise, da sua definição do produto tensorial (algébrico).

Uma abordagem é a seguinte: é suficiente observar que $x \otimes y = x' \otimes y'$ apenas se houver um escalar $\alpha$ para qual $\alpha x = x'$ e $y = \alpha y'$. E se$x',x$fazem parte da mesma base ortonormal, então eles são iguais ou deixam de ser múltiplos um do outro. Então, seu mapa é realmente injetivo.