Duas versões do teorema espectral?
Estou estudando o Teorema espectral (para operadores autoadjuntos limitados) por mim mesmo e estou seguindo o belo livro de Nik Weaver . Deixe-me primeiro apresentar algumas notações.
Notações: Se$\mathcal{H}$ é um espaço Hilbert, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ é o (espaço de Banach) de todos os operadores lineares limitados $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. E se$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\mbox{sp}(A)$ é o espectro de $A$.
Agora deixe $(X, \mathcal{F},\mu)$ seja um $\sigma$- Espaço de medida finita. Um pacote Hilbert mensurável ao longo$X$ é uma união disjunta: $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ Onde $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ é uma partição mensurável de $X$ e, para cada $0 \le n \le \infty$, $\mathcal{H}_{n}$ é um espaço Hilbert com dimensão $n$.
Finalmente, $f: X \to \mathcal{H}$ é fracamente mensurável se a função $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ é mensurável para cada $v \in \mathcal{H}$. Nós denotamos$L^{2}(X;\mathcal{H})$ o conjunto de todas as funções fracamente mensuráveis $f: X \to \mathcal{H}$ de tal modo que: $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$funções de módulo que são zero em quase todos os lugares. Este é um espaço Hibert com produto interno:$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ E se $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$, $M_{f}$ é a multiplicação do operador por $f$. Além disso,$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$.
Agora, a declaração do Teorema espectral nesta referência é a seguinte.
Teorema: Let$\mathcal{B}(\mathcal{H})$seja auto-adjunto. Então sai uma medida de probabilidade$\mu$ em $\mbox{sp}(A)$, um pacote Hilbert mensurável $\mathcal{X}$ sobre $\mbox{sp}(A)$ e um isomorfismo isométrico $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ de tal modo que $A = UM_{x}U^{-1}$.
No entanto, estou mais interessado em outra versão deste Teorema, que é afirmado no livro de Dimock e segue (com notação adaptada)
Teorema: Let$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$seja auto-adjunto. Então, existe um espaço de medida$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$, uma função mensurável limitada $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ e um operador unitário $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ de tal modo que $A = UM_{\tau}U^{-1}$.
Pergunta: Como posso obter a versão de Dimock do Teorema espectral da versão de Weaver dele?
Respostas
Deixei $\mathcal{M}$ ser uma união disjunta consistindo em $n$ cópias de $X_n$ para cada $n$. A medida dada em$\mbox{sp}(A)$ restringe-se a uma medida sobre $X_n$ e assim induz uma medida em $\mathcal{M}$. Existe então um isomorfismo$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$: se você escolher uma base ortonormal para cada $\mathcal{H}_n$, então $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ é apenas uma soma direta de $n$ cópias de $L^2(X_n)$, e quando você pega a soma direta desses sobre todos $n$ você pega $L^2(\mathcal{M})$. Este isomorfismo$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ vira multiplicação por $x$ em $\mbox{sp}(A)$ à multiplicação pela função $\tau$ em $\mathcal{M}$ que é dado pela função de inclusão $X_n\to\mathbb{R}$ em cada cópia de cada $X_n$.
(Alternativamente, sem usar diretamente a versão de Weaver, a versão de Dimock segue usando a mesma prova que Weaver faz, mas usando seu Teorema 3.4.2 em vez do Corolário 3.4.3. O próprio Weaver comenta sobre isso (uma vez que se aplica ao caso não separável como bem) no topo da página 62.)