É $Y - E[Y|X]$ independente de $X$?

Question

Para quaisquer duas variáveis ​​aleatórias $X$ e $Y$, é $Y - E[Y|X]$ independente de $X$? Intuitivamente, acho que deve ser o caso, uma vez que o condicionamento deve incluir todos os aspectos da$X$ que estão emaranhados com $Y$.

Answer 1

Suponha $Y \sim U(-1,1)$ e $X=Y^2$ então $E[Y \mid X] \equiv 0$, mas $Y$ e $X$ não são independentes.

O que é verdade é que $X$ e $Y-E[Y \mid X]$não estão correlacionados .

A propósito, pode-se preparar uma grande família de exemplos exatamente como este, considerando qualquer função estritamente crescente $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ (que são automaticamente mensuráveis ​​pelo Borel), essencialmente qualquer $Y$ com distribuição simétrica sobre $0$, e $X=f(|Y|)$. (Eu uso a palavra "essencialmente" porque é claro que devemos assumir que$E[Y]$ existe.)

Answer 2

Esses são sempre não correlacionados, de fato

$$ Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X]) = Cov(X,Y) - Cov(X,\mathbb E[Y|X]) $$

Reescrevendo como expectativas e usando a propriedade da torre e $X$ mensurabilidade de $X$, Nós temos $$Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X])= \mathbb E[XY] - \mathbb E[X]\mathbb E[Y] - \mathbb E[X\mathbb E[Y|X]] + \mathbb E[X]\mathbb E[\mathbb E[Y|X]]=0$$

Mas tomando $X \sim \mathcal N(0,1)$, $\varepsilon = \pm 1$ com probabilidade $\frac{1}{2}$ independente de $X$ e $Y=\varepsilon X$, você terá $\mathbb E[Y|X] = 0$ quase com certeza, mas $X$ e $Y$ não são independentes (considere $X \in (0,1) , Y \in (1,2)$)