Encontre o comprimento de $DE$
Deixei $ABC$ seja um triângulo com $AB<AC$. Deixei$D$ estar do lado $AC$ de tal modo que $AD=AB$. Deixei$I$ seja o incentivo do triângulo $ABC$ e $E$ ser a interseção das bissetoras perpendiculares de $ID$ e $BC$. Então encontre$DE$ em termos de $AB$, $AC$ e $BC$.
Na pergunta original, alguns comprimentos foram dados ($AB=5$, $AC=8$ e $BC=7$) Portanto, isso tornou meus cálculos muito mais fáceis. Não consegui obter nenhuma solução elegante, então tive que usar a geometria coordenada para obter a solução com o método da força bruta. Uma coisa interessante que observei foi que$AI$, a bissetriz perpendicular de $BC$ e bissetriz perpendicular de $ID$ conheceu na circunferência de $\triangle ABC$. eu sei porque$AI$ e a bissetriz perpendicular de $BC$ se encontram no circuncírculo, mas não sei por que a bissetriz perpendicular de $ID$também se encontraria lá. Alguém poderia fornecer provas?
De volta à questão principal. eu coloco$B=(0,0)$ e $C=(7,0)$ e sem muita dificuldade, encontrei as coordenadas de $A=\left(\frac{5}{7}, \frac{20 \sqrt{3} }{7} \right)$ e $I=(2, \sqrt{3})$ e $D=\left( \frac{65}{14} ,\frac{15\sqrt{3}}{14}\right)$. A equação da bissetriz perpendicular de$BC$ é $x=3.5$ e equação da bissetriz perpendicular de $ID$ é $y-\frac{29\sqrt{3}}{28}=\frac{-37}{\sqrt{3}} \left(x-\frac{93}{28}\right)$. A intersecção deles é o ponto$E= \left(\frac{7}{2}, \frac{-7\sqrt{3}}{6}\right)$. E daí o comprimento de$DE$ é $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Como você já pode ver, esse método é extremamente complicado e sujeito a erros (nem mesmo sei se minha resposta está correta). Eu realmente adoraria uma solução geométrica para essa questão. Eu só conheço geometria elementar e trigonometria, então solicito uma solução com base nisso. (Também esclareça por que eles serão colineares). Qualquer solução será apreciada. Fique à vontade para usar os comprimentos fornecidos para facilitar o cálculo e a escrita.
Diagrama para referência:
Respostas
Vou denotar os ângulos do triângulo por $A,B,C$ e os lados do triângulo opostos a esses ângulos, respectivamente, como $a,b,c$.
Fato 1: desde$\triangle ABD$ é isósceles com bissetriz do ângulo $AI$, $AI$ é a bissetriz perpendicular de $BD$.
Fato 2: $$\begin{aligned}\angle BIC&=180^\circ-\angle IBC-\angle ICB=180^\circ-\dfrac{B}2-\dfrac{C}2\\&=180^\circ-\left(\dfrac{B+C}2\right)=180^\circ-\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2 \end{aligned}$$
Fato 3: usando isso$\triangle ABD$ é isósceles, temos $\angle ABD=\angle ADB= \dfrac{180^\circ-A}2$ $$\begin{aligned} \angle BDC= A+\angle ABD=A+\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2\end{aligned}$$
Dos fatos 2,3 , temos que$\angle BIC=\angle BDC$, então, se desenharmos o círculo circunflexo de $\triangle BDC$, então esses dois ângulos iguais são ângulos no mesmo segmento daquele círculo , de modo que$B,I,D,C$são concíclicos. Isso implica que$\underline{\text{$\ triângulo BID$ and $\ triângulo BDC$ have the same circumcircle}}$.
Consequentemente, denotando $\texttt{PB,CC}$ como bissetriz perpendicular e circuncírculo respectivamente, segue-se que $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC \ (\text{by definition of }\texttt{CC})\\ (\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC \ (\text{by definition of }\texttt{CC}) $$ mas o fato sublinhado implica $$\texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC=\texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC$$ de modo a $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=(\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)$$e pelo fato 1 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=AI \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=E$$ onde a segunda igualdade é algo que você mencionou que já conhece.
portanto $E$ é o centro da circunferência de $\triangle BIC,\triangle BDC$ com $EC,EI,ED$ como raio $R_1$do círculo. Você pode encontrar$|DE|=R_1$ usando a regra seno em $\triangle BDC$ Como
$$\begin{aligned} DE=IE=R_1=\dfrac{BC}{2\sin(\angle BDC)}&=\dfrac{BC}{2\sin\left(90^\circ+\dfrac{A}2\right)}\\&=\dfrac{a}{2\cos\left(\dfrac{A}2\right)}\end{aligned}$$ e então usar $\cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+\cos^2A}2}$ com $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ da regra do cosseno.
Nós podemos ver isso $ID=IB$. Também temos:
$\angle BEA=\angle ACB$
$\angle BAE=\angle EAC$
O que resulta em:
$\triangle ABE=\triangle AEC $
Portanto:
$BE=DE$
Agora conecte C a I. CI é a bissetriz do ângulo ACB. Marque a interseção da perpendicular de E em ID como F. Esta perpendicular também é a bissetriz do ângulo IED. Nós temos:
$\angle IEF=\frac{\angle BEI}{2}=\frac{\angle ACB}{2}$
Quais resultados:
$\angle BCI=\angle IEF$
Nós também podemos mostrar que $EC=ED$. Isso significa que os pontos B, I, D e C estão na circunferência do centro de um círculo em E. Agora, considere o triângulo IBC, DE é de fato o raio deste círculo, então usamos a seguinte fórmula para calcular sua medida:
$DE=R=\frac{BI\times IC\times BC }{2S}$
Onde S é a área deste triângulo. Agora tudo que precisamos é encontrar as medidas de BI, IC. Tendo isso, podemos encontrar S usando a fórmula de Harum e encontrar R.