Espectro de um $\ell^2$-operador

Question

Eu preciso encontrar o espectro $\sigma(T)$ do seguinte operador em $\ell^2$ (sequências reais):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

mas estou tendo alguns problemas (ontem eu postei uma pergunta semelhante e foi apontado que a operadora era compacta, mas esta não é)

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Levar $y \in \ell^2$ e suponha $(T-\lambda)x=y$, temos as seguintes relações:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

destes nós obtemos

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

agora eu não sei como determinar se ou não $x \in \ell^2$.

Answer 1

EDIT: Isso não se aplica à questão. Ver abaixo.

Denote o operador como $P$. Deve ficar claro que$P$ é uma projeção; $P^2=P^*=P$. Para qualquer projeção, o espectro é um subconjunto de$\{0,1\}$, com no máximo um destes exceto. Podemos definir um inverso explícito em todos os outros casos:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Isso pode ser verificado por meio do seguinte cálculo:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} O fato de que este é um inverso bilateral decorre de estrelar a equação inteira, o que não faz nada além de inverter a ordem da multiplicação.

EDIT AQUI: O operador $T$ acima leva $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$e, em seguida, avança nos próximos índices. Isso significa que$T$ tem uma decomposição como $I_3\oplus R$, Onde $I_3$ é o $3\times 3$ operador de identidade e $R$é o operador de turno certo. O espectro da soma direta de muitos operadores finitos é a união de seus espectros. O espectro do operador de identidade é$1$, e o espectro do operador de deslocamento à direita é a unidade de disco fechada $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Então, o espectro de$T$ é o disco da unidade fechada.