Espectro e medição contínua

Question

Suponha que eu tenha uma partícula cujo momentum eu avalio ser $p$ com incerteza $\delta p$. Logo após a medição sabemos que sua função de onda é dada por$\psi(x)=\int g(p)e^{ipx/\hbar}dp$ (restringindo a 1D para simplificar) com $g$ uma certa função que é $0$ lado de fora $p-\delta p$, $p+\delta p$ e com $\int |g(p)|^2dp=1$.

O que mais podemos dizer sobre essa função $g$?

Não pude dizer mais nada sobre isso, mas tenho que admitir que, por exemplo, sabemos que $g$nunca está muito mais concentrado do que deveria ser. Caso contrário, se pegássemos, por exemplo, o cânone do experimento de Stern-Gerlach (que lança átomos de prata a cerca de 500 m / s) e o direcionássemos para o meio de uma porta, veríamos átomos voltando de vez em quando. Na verdade se$g$é extremamente concentrado, a onda resultante pode se espalhar bastante e pode-se ver os efeitos de difração. Mas nunca fazemos.

Answer 1

Depende do estado antes da medição. Se a função de onda de pré-medição for dada por algum$\psi_i(x)$, então a função de onda pós-medição $\psi_f(x)$ é a projeção de $\psi_i(x)$ no subespaço do espaço de Hilbert, que é consistente com seus resultados de medição.

Mais concretamente, vamos $$\psi_i(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$

Se você medir a quantidade de movimento no intervalo $p\in[p_0-\delta p, p_0 + \delta p]$ então o estado de pós-medição é simplesmente $$\psi_f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{p_0-\delta p}^{p_0 + \delta p} A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$

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Como observação lateral, a normalização não é preservada automaticamente pela medição, mas tudo bem porque os estados quânticos são elementos do espaço de Hilbert projetivo e só são bem definidos até uma constante multiplicativa geral. Normalmente é conveniente normalizar a função de onda, mas observe que você terá que normalizá-la novamente após uma medição projetiva.

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"Se o intervalo no qual você mede 𝑝 é pequeno o suficiente, então você pode aproximar 𝑔 como uma função constante nesse intervalo" Por quê?

Porque enquanto $A$ é pelo menos contínuo, então por um pequeno intervalo este $g$

parece muito com este

Isso se você assumir, como meu livro didático faz implicitamente, que se pode de fato aproximar 𝑔 com uma constante, mas não vejo essa suposição em nenhum lugar dos postulados.

Não, esta é uma aplicação direta do princípio da incerteza a um pacote de ondas. Para observar os efeitos de difração, você precisa que a propagação de seu pacote de ondas seja pelo menos da mesma ordem de magnitude que o tamanho do buraco. Por exemplo, um pacote de ondas gaussianas que satura a relação de incerteza, a propagação em$p$ é inversamente proporcional à propagação em $x$, implicando que uma grande deslocalização espacial corresponde a um momento fantasticamente localizado.